Задание 1. Вычисли неизвестные элементы: а) в треугольнике ABC: AB = 8√2, BC = 6, ∠ACB = 45°. Найди ∠B. б) В треугольнике ABC: ∠A = 60°, ∠B = 75°, BC = 4√6. Найди AB. в) В треугольнике ABC: ∠A = 120°, ∠C = 15°, AC = √24. Найди CB.

а) По теореме синусов находим угол A:

\(\dfrac{\sin A}{6}=\dfrac{\sin 45^\circ}{8\sqrt{2}}\), поэтому \(\sin A=\dfrac{3}{8}\). Так как сторона AB больше BC, то угол C больше угла A; значит, A — острый угол и \(A=\arcsin\dfrac{3}{8}\).

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\): \(B=180^\circ-45^\circ-A=135^\circ-\arcsin\dfrac{3}{8}\approx112.0^\circ\).

б) Сначала находим третий угол: \(C=180^\circ-60^\circ-75^\circ=45^\circ\).

По теореме синусов: \(\dfrac{AB}{\sin45^\circ}=\dfrac{4\sqrt{6}}{\sin60^\circ}\). Тогда \(AB=4\sqrt{6}\cdot\dfrac{\sin45^\circ}{\sin60^\circ}=4\sqrt{6}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=8\).

в) Находим угол B: \(B=180^\circ-120^\circ-15^\circ=45^\circ\).

По теореме синусов: \(\dfrac{CB}{\sin120^\circ}=\dfrac{\sqrt{24}}{\sin45^\circ}\). Значит, \(CB=\sqrt{24}\cdot\dfrac{\sin120^\circ}{\sin45^\circ}=\sqrt{24}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=6\).

Ответ: а) \(\angle B\approx112.0^\circ\); б) \(AB=8\); в) \(CB=6\).