Задание 4 (25 баллов). Найдите площадь поверхности, полученной вращением вокруг оси Ох графика функции на отрезке [0; 4].

Ответ: 24π

Пошаговое решение:

1. Запишем функцию: \[ y = \frac{3}{2} \sqrt{x} \]
2. Найдем производную функции: \[ y' = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{4\sqrt{x}} \]
3. Применим формулу для площади поверхности вращения вокруг оси Ox: \[ S = 2\pi \int_{a}^{b} y \sqrt{1 + (y')^2} dx \]
4. Подставим нашу функцию и её производную, а также пределы интегрирования: \[ S = 2\pi \int_{0}^{4} \frac{3}{2} \sqrt{x} \sqrt{1 + \left(\frac{3}{4\sqrt{x}}\right)^2} dx \] \[ S = 3\pi \int_{0}^{4} \sqrt{x} \sqrt{1 + \frac{9}{16x}} dx \] \[ S = 3\pi \int_{0}^{4} \sqrt{x + \frac{9}{16}} dx \]
5. Сделаем замену переменной: \[ u = x + \frac{9}{16} \Rightarrow du = dx \]
6. Новые пределы интегрирования: \[ x = 0 \Rightarrow u = \frac{9}{16} \] \[ x = 4 \Rightarrow u = 4 + \frac{9}{16} = \frac{64 + 9}{16} = \frac{73}{16} \]
7. Вычислим интеграл: \[ S = 3\pi \int_{\frac{9}{16}}^{\frac{73}{16}} \sqrt{u} du = 3\pi \left[\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}\right]_{\frac{9}{16}}^{\frac{73}{16}} \] \[ S = 2\pi \left[u^{\frac{3}{2}}\right]_{\frac{9}{16}}^{\frac{73}{16}} = 2\pi \left[\left(\frac{73}{16}\right)^{\frac{3}{2}} - \left(\frac{9}{16}\right)^{\frac{3}{2}}\right] \] \[ S = 2\pi \left[\frac{73\sqrt{73}}{64} - \frac{27}{64}\right] = 2\pi \left(\frac{73\sqrt{73} - 27}{64}\right) \]

Ответ: \(\frac{73\sqrt{73} - 27}{32} \pi\)