Задание 1 (25 баллов). Найдите объём тела, которое получается при вращении вокруг оси Ох графика функции на отрезке [2; 7].

Ответ: 20π

Пошаговое решение:

1. Выразим функцию y: \[ y = \frac{4}{x} \]
2. Применим формулу для объема тела вращения вокруг оси Ox: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \]
3. Подставим нашу функцию и пределы интегрирования: \[ V = \pi \int_{2}^{7} \left(\frac{4}{x}\right)^2 dx \]
4. Вычислим интеграл: \[ V = \pi \int_{2}^{7} \frac{16}{x^2} dx = 16\pi \int_{2}^{7} x^{-2} dx \] \[ V = 16\pi \left[-\frac{1}{x}\right]_{2}^{7} \] \[ V = 16\pi \left(-\frac{1}{7} - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) \] \[ V = 16\pi \left(-\frac{1}{7} + \frac{1}{2}\right) \] \[ V = 16\pi \left(\frac{-2 + 7}{14}\right) \] \[ V = 16\pi \left(\frac{5}{14}\right) \] \[ V = \frac{80\pi}{14} = \frac{40\pi}{7} \]

Ответ: \(\frac{40\pi}{7}\)