Задачи по комбинаторике Задача 1: Сколькими способами можно составить список из 5 учеников? Задача 2: В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? Задача 3: Расписание на день содержит 5 уроков. Определить количество возможных расписаний при выборе из 14 предметов, при условии, что ни один предмет не стоит дважды. Задача 4: Сколько различных трехцветных флагов можно сделать, комбинируя синий, красный и белый цвета? Задача 5: В классе 24 ученика. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде? Задача 6: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз? Задача 7: Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе 3 человек? Задача 8: В магазине продаются блокноты 7 разных видов и ручки 4 разных видов. Сколькими способами можно выбрать покупку из двух разных блокнотов и одной ручки? Задача 9: Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз? Задача 10: Сколькими способами можно разместить 6 пассажиров в четырехместной каюте? Задача 11: Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей? Задача 12: Бригадир должен отправить на работу бригаду из 4 человек. Сколько бригад по 4 человека в каждой можно составить из 13 человек? Задача 13: При встрече 16 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий? Задача 14: Группа учащихся в 30 человек пожелала обменяться своими фотокарточками. Сколько всего фотокарточек потребовалось для этого? Задача 15: Сколько различных плоскостей можно провести через 10 точек, если никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре точки не лежат в одной плоскости? Задача 16: Сколько существует различных семизначных телефонных номеров? Задача 17: Сколько существует различных семизначных телефонных номеров, если в каждом номере нет повторяющихся цифр? Задача 18: У одного мальчика имеется 10 марок для обмена, а у другого - 8. Сколькими способами они могут обменять 2 марки одного на 2 марки другого?

Решим задачи по комбинаторике по порядку: Задача 1: Количество способов составить список из 5 учеников - это просто количество перестановок из 5 элементов. Таким образом, это 5! (5 факториал). $$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$$ Задача 2: Нужно выбрать капитана и заместителя из 11 человек. Сначала выбираем капитана (11 способов), затем заместителя (10 способов). Таким образом, $$11 \cdot 10 = 110$$ Задача 3: Необходимо определить количество возможных расписаний из 5 уроков при выборе из 14 предметов, без повторений. Это размещение из 14 по 5: $$A_{14}^5 = \frac{14!}{(14-5)!} = \frac{14!}{9!} = 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 = 240240$$ Задача 4: Сколько трехцветных флагов можно сделать, комбинируя синий, красный и белый. Предполагается, что порядок цветов важен, и цвета не повторяются. Тогда это перестановки из 3 элементов: 3! = 3 * 2 * 1 = 6 $$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$$ Задача 5: Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек из 24 учеников? Это сочетания из 24 по 4: $$C_{24}^4 = \frac{24!}{4!(24-4)!} = \frac{24!}{4!20!} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10626$$ Задача 6: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в число только 1 раз? Это перестановки из 3 цифр: 3! = 3 * 2 * 1 = 6. $$3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$$ Задача 7: Сколькими способами можно избрать делегацию из 3 человек из 15? Это сочетания из 15 по 3: $$C_{15}^3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 455$$ Задача 8: В магазине 7 видов блокнотов и 4 вида ручек. Сколькими способами можно выбрать 2 разных блокнота и 1 ручку? Выбор 2 блокнотов из 7 - это $$C_7^2$$, а выбор 1 ручки из 4 - это $$C_4^1$$. Общее число способов: $$C_7^2 \cdot C_4^1 = \frac{7!}{2!5!} \cdot \frac{4!}{1!3!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} \cdot 4 = 21 \cdot 4 = 84$$ Задача 9: Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если каждая цифра входит в число только 1 раз? Всего можно составить 4! = 24 комбинации, но нужно исключить те, что начинаются с 0. Если 0 стоит первым, то остается 3! = 6 комбинаций. Тогда общее число вариантов: 24 - 6 = 18 $$4! - 3! = 24 - 6 = 18$$ Задача 10: Сколькими способами можно разместить 6 пассажиров в четырехместной каюте? Здесь порядок важен, и мы выбираем 4 места из 6 (размещаем 4 из 6), то есть это размещения из 6 по 4: $$A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$$ Задача 11: Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей? Это сочетания из 10 по 2: $$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$$ Задача 12: Сколько бригад по 4 человека можно составить из 13 человек? Это сочетания из 13 по 4: $$C_{13}^4 = \frac{13!}{4!(13-4)!} = \frac{13!}{4!9!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 715$$ Задача 13: При встрече 16 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий? Каждый человек жмет руку 15 другим. Но каждое рукопожатие считается дважды (A жмет руку B и B жмет руку A). Поэтому общее число рукопожатий: $$\frac{16 \cdot 15}{2} = 120$$ Задача 14: Группа из 30 человек обменялась фотокарточками. Сколько всего фотокарточек потребовалось? Каждый человек дает карточку 29 другим, значит всего: $$30 \cdot 29 = 870$$ Задача 15: Сколько различных плоскостей можно провести через 10 точек, если никакие три не лежат на одной прямой и никакие четыре точки не лежат в одной плоскости? Это сочетания из 10 по 3: $$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$$ Задача 16: Сколько существует различных семизначных телефонных номеров? Если не указано иное, цифры могут повторяться. Каждая из 7 позиций может быть заполнена любой из 10 цифр (0-9). Таким образом: $$10^7 = 10000000$$ Задача 17: Сколько существует различных семизначных телефонных номеров, если в каждом номере нет повторяющихся цифр? Это размещения из 10 по 7: $$A_{10}^7 = \frac{10!}{(10-7)!} = \frac{10!}{3!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 604800$$ Задача 18: У одного мальчика 10 марок, у другого - 8. Сколькими способами они могут обменять 2 марки одного на 2 марки другого? Первый выбирает 2 из 10, второй 2 из 8: $$C_{10}^2 \cdot C_8^2 = \frac{10!}{2!8!} \cdot \frac{8!}{2!6!} = \frac{10 \cdot 9}{2} \cdot \frac{8 \cdot 7}{2} = 45 \cdot 28 = 1260$$