195. (Задача-исследование.) При каких значениях а и в является тождеством равенство $$\frac{5x + 31}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{a}{x-5} + \frac{b}{x+2}$$? а) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи. б) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите её. в) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.

Решим задачу 195 по пунктам. а) Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо выполнить следующие преобразования: 1. Привести правую часть уравнения к общему знаменателю: $$\frac{a}{x-5} + \frac{b}{x+2} = \frac{a(x+2) + b(x-5)}{(x-5)(x+2)}$$ 2. Приравнять числители левой и правой частей уравнения: $$5x + 31 = a(x+2) + b(x-5)$$ 3. Раскрыть скобки в правой части: $$5x + 31 = ax + 2a + bx - 5b$$ 4. Сгруппировать члены с x и свободные члены: $$5x + 31 = (a+b)x + (2a-5b)$$ 5. Приравнять коэффициенты при x и свободные члены в обеих частях уравнения. Получим систему уравнений: $$\begin{cases} a + b = 5 \\ 2a - 5b = 31 \end{cases}$$ б) Решим систему уравнений: 1. Выразим a из первого уравнения: $$a = 5 - b$$ 2. Подставим это выражение во второе уравнение: $$2(5 - b) - 5b = 31$$ 3. Раскроем скобки и упростим: $$10 - 2b - 5b = 31 \\ -7b = 21 \\ b = -3$$ 4. Найдем a: $$a = 5 - (-3) = 8$$ в) Ответ на вопрос задачи: a = 8, b = -3. Проверим полученный ответ, подставив значения a и b в исходное уравнение: $$\frac{8}{x-5} + \frac{-3}{x+2} = \frac{8(x+2) - 3(x-5)}{(x-5)(x+2)} = \frac{8x + 16 - 3x + 15}{(x-5)(x+2)} = \frac{5x + 31}{(x-5)(x+2)}$$ Таким образом, при a = 8 и b = -3 равенство является тождеством.