Задача 5. На столе лежат 100 монет. Петя и Вася по очереди берут со стола 1, 2 или 3 монеты. Но брать 3 монеты каждому из игроков разрешено не более одного раза за игру. Тот, кто возьмёт со стола последнюю монету, побеждает. Начинает Петя. Кто выиграет при правильной игре?

Петя первым берёт 3 монеты. После этого остаётся 97 монет, а право взять 3 монеты у Пети уже использовано.

Далее Петя поддерживает такую стратегию: после каждого хода Васи он берёт столько монет, чтобы за два хода вместе было взято 4 монеты. Если Вася берёт 1, Петя берёт 3; если Вася берёт 2, Петя берёт 2; если Вася берёт 3, Петя берёт 1.

После первого хода Пети остаётся 97 монет. Затем за каждую пару ходов уменьшается на 4: $$97=4\cdot24+1.$$ Когда после хода Васи останется 1 монета, Петя возьмёт её последней. При этом Петя больше не использует взятие 3 монет, а Вася может использовать его не более одного раза, поэтому стратегия допустима.

Ответ: выиграет Петя.