Задача 4. Велосипедист проехал из пункта А в пункт Б и обратно по дороге, содержащей подъёмы и спуски. Есть также горизонтальные участки, их общая длина составляет 16 км. На горизонтальных участках скорость велосипедиста равна 12 км/ч, на подъёмах — 6 км/ч, на спусках — 15 км/ч. На дорогу из А в Б велосипедист потратил 3 часа 20 минут, а на обратный путь — на 12 минут больше. Чему равна общая длина спусков и общая длина подъёмов при движении из А в Б?

Question

Accepted Answer

Пусть \( S_г \) — длина горизонтальных участков, \( S_п \) — длина подъёмов, \( S_с \) — длина спусков.

По условию, \( S_г = 16 \) км.

Скорость на горизонтальных участках: \( v_г = 12 \) км/ч.

Скорость на подъёмах: \( v_п = 6 \) км/ч.

Скорость на спусках: \( v_с = 15 \) км/ч.

Время движения по горизонтальным участкам: \( t_г = \frac{S_г}{v_г} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \) часа.

Время движения из А в Б:

3 часа 20 минут = \( 3 + \frac{20}{60} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \) часа.

Время движения из Б в А (обратно):

\( \frac{10}{3} \) часа + 12 минут = \( \frac{10}{3} + \frac{12}{60} = \frac{10}{3} + \frac{1}{5} = \frac{50 + 3}{15} = \frac{53}{15} \) часа.

Путь из А в Б:

Время на подъёмы и спуски: \( t_{п+с} = \frac{10}{3} - t_г = \frac{10}{3} - \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2 \) часа.

Время на подъём: \( t_п = \frac{S_п}{v_п} = \frac{S_п}{6} \).

Время на спуск: \( t_с = \frac{S_с}{v_с} = \frac{S_с}{15} \).

\( t_п + t_с = 2 \) \( → \) \( \frac{S_п}{6} + \frac{S_с}{15} = 2 \).

Умножим на 30: \( 5S_п + 2S_с = 60 \) (1)

Путь из Б в А (обратно):

На подъём из Б в А (спуск из А в Б) время: \( t'_{п} = \frac{S_с}{v_п} = \frac{S_с}{6} \).

На спуск из Б в А (подъём из А в Б) время: \( t'_{с} = \frac{S_п}{v_с} = \frac{S_п}{15} \).

Общее время из Б в А: \( t'_{г} + t'_{п} + t'_{с} = \frac{53}{15} \).

Время на горизонтальные участки обратно: \( t'_г = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \) часа.

Время на подъёмы и спуски обратно: \( t'_{п} + t'_{с} = \frac{53}{15} - \frac{4}{3} = \frac{53 - 20}{15} = \frac{33}{15} = \frac{11}{5} \) часа.

\( \frac{S_с}{6} + \frac{S_п}{15} = \frac{11}{5} \).

Умножим на 30: \( 5S_с + 2S_п = 66 \) (2)

Решим систему уравнений:

Из уравнения (1) выразим \( S_с \): \( 2S_с = 60 - 5S_п \) \( → \) \( S_с = 30 - 2.5S_п \).

Подставим в уравнение (2):

\( 2S_п + 5(30 - 2.5S_п) = 66 \)

\( 2S_п + 150 - 12.5S_п = 66 \)

\( 150 - 10.5S_п = 66 \)

\( 10.5S_п = 150 - 66 \)

\( 10.5S_п = 84 \)

\( S_п = \frac{84}{10.5} = \frac{840}{105} = 8 \) км.

Теперь найдём \( S_с \):

\( S_с = 30 - 2.5 · 8 = 30 - 20 = 10 \) км.

Ответ: Общая длина спусков — 10 км, общая длина подъёмов — 8 км.