Задача 3. Междугородный автобус проехал путь из одного города в другой за 20 часов. Некоторое время он ехал со скоростью 45 км/ч, а остальную часть пути со скоростью 60 км/ч. Определите, сколько часов он ехал со скоростью 45 км/ч и сколько со скоростью 60 км/ч, если его средняя скорость составила 51 км/ч.

Решение:

Пусть \( t_1 \) — время движения со скоростью 45 км/ч, а \( t_2 \) — время движения со скоростью 60 км/ч.

Общее время движения: \( t_1 + t_2 = 20 \) часов.

Расстояние, пройденное со скоростью 45 км/ч: \( S_1 = 45t_1 \).

Расстояние, пройденное со скоростью 60 км/ч: \( S_2 = 60t_2 \).

Общее расстояние: \( S = S_1 + S_2 = 45t_1 + 60t_2 \).

Средняя скорость равна общему расстоянию, делённому на общее время: \( v_{ср} = \frac{S}{t_1 + t_2} \).

По условию, средняя скорость равна 51 км/ч.

\(   \frac{45t_1 + 60t_2}{20} = 51 \)

\( 45t_1 + 60t_2 = 51 · 20 \)

\( 45t_1 + 60t_2 = 1020 \)

Разделим уравнение на 15: \( 3t_1 + 4t_2 = 68 \) (1)

У нас есть система уравнений:

1. \( t_1 + t_2 = 20 \)
2. \( 3t_1 + 4t_2 = 68 \)

Из уравнения (1) выразим \( t_1 \): \( t_1 = 20 - t_2 \).

Подставим это в уравнение (2):

\( 3(20 - t_2) + 4t_2 = 68 \)

\( 60 - 3t_2 + 4t_2 = 68 \)

\( 60 + t_2 = 68 \)

\( t_2 = 68 - 60 \)

\( t_2 = 8 \) часов.

Теперь найдём \( t_1 \):

\( t_1 = 20 - t_2 = 20 - 8 = 12 \) часов.

Ответ: Автобус ехал со скоростью 45 км/ч — 12 часов, а со скоростью 60 км/ч — 8 часов.