Задача 23.2. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение:

Высота, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, связана с катетами и гипотенузой через площадь треугольника.

1. Найдем длину гипотенузы AB:
   По теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)
   \[ AB^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900 \]
   \[ AB = \sqrt{900} = 30 \]
2. Вычислим площадь треугольника двумя способами:
   
   • Через катеты: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24 = 9 \cdot 24 = 216 \]
   • Через гипотенузу и высоту (h): \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot h = 15h \]
3. Приравняем площади и найдем высоту h:
   \[ 15h = 216 \]
   \[ h = \frac{216}{15} = \frac{72}{5} = 14.4 \]

Ответ: 14.4