Контрольные задания > Задача 4. Существует ли такое натуральное число, которое при умножении его на 2 станет квадратом натурального числа, при умножении его на 3 кубом какого-то натурального числа, после его умножения на 5- пятой степенью натурального числа, а после его умножения на 7 седьмой степенью натурального числа?
Вопрос:

Задача 4. Существует ли такое натуральное число, которое при умножении его на 2 станет квадратом натурального числа, при умножении его на 3 кубом какого-то натурального числа, после его умножения на 5- пятой степенью натурального числа, а после его умножения на 7 седьмой степенью натурального числа?

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: Да, такое число существует.

Краткое пояснение: Подбираем число, которое можно представить в виде произведения простых множителей с определенными степенями.
  1. Шаг 1: Представим искомое число n в виде произведения простых множителей: \[ n = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot 7^d \] где a, b, c, и d - целые неотрицательные числа.
  2. Шаг 2: Рассмотрим условия задачи:
    • 2n должно быть квадратом, то есть все степени в разложении 2n должны быть четными.
    • 3n должно быть кубом, то есть все степени в разложении 3n должны быть кратны 3.
    • 5n должно быть пятой степенью, то есть все степени в разложении 5n должны быть кратны 5.
    • 7n должно быть седьмой степенью, то есть все степени в разложении 7n должны быть кратны 7.
  3. Шаг 3: Запишем условия в виде уравнений для степеней:
    • Для 2n: a+1 должно быть четным, b, c, d должны быть четными.
    • Для 3n: a, b+1, c, d должны быть кратны 3.
    • Для 5n: a, b, c+1, d должны быть кратны 5.
    • Для 7n: a, b, c, d+1 должны быть кратны 7.
  4. Шаг 4: Найдем наименьшие значения a, b, c, и d, удовлетворяющие этим условиям:
    • Для a: a должно быть нечетным (чтобы a+1 было четным) и кратно 3, 5, и 7. Наименьшее такое число - 105.
    • Для b: b должно быть четным и кратно 5 и 7, и b+1 должно быть кратно 3. Наименьшее такое число - 70.
    • Для c: c должно быть четным и кратно 3 и 7, и c+1 должно быть кратно 5. Наименьшее такое число - 84.
    • Для d: d должно быть четным и кратно 3 и 5, и d+1 должно быть кратно 7. Наименьшее такое число - 30.
  5. Шаг 5: Подставим найденные значения в выражение для n: \[ n = 2^{105} \cdot 3^{70} \cdot 5^{84} \cdot 7^{30} \] Это число удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Да, такое число существует.

Цифровой алхимик: Уровень интеллекта: +50

Сэкономил время — спас вечер. Иди чиллить, ты это заслужил

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке

ГДЗ по фото 📸

Похожие