Задача 2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций: а) у = х² и у = 3; б) y = x²y=x+4.

Ответ: а) (-√3; 3) и (√3; 3); б) (-2; 2) и (4; 4)

a) y = \frac{1}{3}x^2 и y = 3

Приравняем уравнения:

\[\frac{1}{3}x^2 = 3\]

Умножим обе части на 3:

\[x^2 = 9\]

Извлечем квадратный корень:

\[x = \pm \sqrt{9} = \pm 3\]

Найдем соответствующие значения y:

Для x = -3: y = 3

Для x = 3: y = 3

Координаты точек пересечения: (-3; 3) и (3; 3)

б) y = \frac{1}{2}x^2 и y = x + 4

Приравняем уравнения:

\[\frac{1}{2}x^2 = x + 4\]

Умножим обе части на 2:

\[x^2 = 2x + 8\]

Перенесем все в одну сторону:

\[x^2 - 2x - 8 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\]\[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4\]\[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2\]

Найдем соответствующие значения y:

Для x = 4: y = 4 + 4 = 8

Для x = -2: y = -2 + 4 = 2

Координаты точек пересечения: (4; 8) и (-2; 2)

Ответ: а) (-3; 3) и (3; 3); б) (4; 8) и (-2; 2)