Задача 2. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что AC ⊥ A₁C₁ и BD ⊥ B₁D₁.

Для решения задачи нам потребуется знание свойств параллелепипеда, перпендикулярности прямых и понимание геометрии в пространстве.

Доказательство:

1. Рассмотрим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.
2. По определению параллелепипеда, ABCD и A₁B₁C₁D₁ - параллелограммы.
3. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
4. Аналогично, в параллелограмме A₁B₁C₁D₁ диагонали A₁C₁ и B₁D₁ пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
5. Так как ABCDA₁B₁C₁D₁ - параллелепипед, то плоскости ABCD и A₁B₁C₁D₁ параллельны.
6. Поскольку AC и A₁C₁ лежат в параллельных плоскостях и соответствуют диагоналям, то они перпендикулярны.
7. Аналогично, BD и B₁D₁ лежат в параллельных плоскостях и соответствуют диагоналям, то они перпендикулярны.

Вывод: AC ⊥ A₁C₁ и BD ⊥ B₁D₁.