1-й вариант 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: a) y = x² + 2; x = 1; х = 2; ось Ох б) y = x²-4; x = -1; х = 0; ось Ох в) у = 4x - x²; у = 4 - х; ось Ох г) у = 1-x2; y = 1-x

Решение:

1. Площадь фигуры вычисляется интегралом:

S = ∫²₁ (x² + 2) dx

2. Находим первообразную:

F(x) = ∫ (x² + 2) dx = (x³/3) + 2x

3. Вычисляем значение первообразной в пределах интегрирования:

F(2) = (2³/3) + 2(2) = 8/3 + 4 = 20/3

F(1) = (1³/3) + 2(1) = 1/3 + 2 = 7/3

4. Вычисляем площадь:

S = F(2) - F(1) = 20/3 - 7/3 = 13/3

Решение:

1. Площадь фигуры вычисляется интегралом:

S = |∫⁰_-1 (x² - 4) dx|

2. Находим первообразную:

F(x) = ∫ (x² - 4) dx = (x³/3) - 4x

3. Вычисляем значение первообразной в пределах интегрирования:

F(0) = (0³/3) - 4(0) = 0

F(-1) = ((-1)³/3) - 4(-1) = -1/3 + 4 = 11/3

4. Вычисляем площадь:

S = |F(0) - F(-1)| = |0 - 11/3| = 11/3

Решение:

1. Находим точки пересечения графиков функций:

4x - x² = 4 - x

x² - 5x + 4 = 0

x₁ = 1, x₂ = 4

2. Площадь фигуры вычисляется интегралом:

S = ∫⁴₁ ((4x - x²) - (4 - x)) dx = ∫⁴₁ (-x² + 5x - 4) dx

3. Находим первообразную:

F(x) = ∫ (-x² + 5x - 4) dx = (-x³/3) + (5x²/2) - 4x

4. Вычисляем значение первообразной в пределах интегрирования:

F(4) = (-4³/3) + (5(4)²/2) - 4(4) = -64/3 + 40 - 16 = -64/3 + 24 = 8/3

F(1) = (-1³/3) + (5(1)²/2) - 4(1) = -1/3 + 5/2 - 4 = -1/3 + 5/2 - 4 = -1/3 - 3/2 = -2/6 - 9/6 = -11/6

5. Вычисляем площадь:

S = F(4) - F(1) = 8/3 - (-11/6) = 16/6 + 11/6 = 27/6 = 9/2

Решение:

1. Находим точки пересечения графиков функций:

1 - x² = 1 - x

x² - x = 0

x(x - 1) = 0

x₁ = 0, x₂ = 1

2. Площадь фигуры вычисляется интегралом:

S = ∫¹₀ ((1 - x²) - (1 - x)) dx = ∫¹₀ (-x² + x) dx

3. Находим первообразную:

F(x) = ∫ (-x² + x) dx = (-x³/3) + (x²/2)

4. Вычисляем значение первообразной в пределах интегрирования:

F(1) = (-1³/3) + (1²/2) = -1/3 + 1/2 = -2/6 + 3/6 = 1/6

F(0) = (-0³/3) + (0²/2) = 0

5. Вычисляем площадь:

S = F(1) - F(0) = 1/6 - 0 = 1/6