2-й вариант 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: a) y = x² - 1; x = 1; х = 2; ось Ох б) y = x² + 2x; x = -1; х = 0; ось Ох в) y = x³; x = 2-х; ось Ох г) у = x² + 1; y = 1 + x

Решение:

1. Площадь фигуры вычисляется интегралом:

S = |∫²₁ (x² - 1) dx|

2. Находим первообразную:

F(x) = ∫ (x² - 1) dx = (x³/3) - x

3. Вычисляем значение первообразной в пределах интегрирования:

F(2) = (2³/3) - 2 = 8/3 - 2 = 2/3

F(1) = (1³/3) - 1 = 1/3 - 1 = -2/3

4. Вычисляем площадь:

S = |F(2) - F(1)| = |2/3 - (-2/3)| = |4/3| = 4/3

Решение:

1. Площадь фигуры вычисляется интегралом:

S = |∫⁰_-1 (x² + 2x) dx|

2. Находим первообразную:

F(x) = ∫ (x² + 2x) dx = (x³/3) + x²

3. Вычисляем значение первообразной в пределах интегрирования:

F(0) = (0³/3) + 0² = 0

F(-1) = ((-1)³/3) + (-1)² = -1/3 + 1 = 2/3

4. Вычисляем площадь:

S = |F(0) - F(-1)| = |0 - 2/3| = 2/3

Решение:

1. Находим точки пересечения графиков функций:

x³ = 2 - x

x³ + x - 2 = 0

(x - 1)(x² + x + 2) = 0

x = 1

x = 0

2. Площадь фигуры вычисляется интегралом:

S = |∫¹₀ (x³ - (2 - x)) dx| = |∫¹₀ (x³ + x - 2) dx|

3. Находим первообразную:

F(x) = ∫ (x³ + x - 2) dx = (x⁴/4) + (x²/2) - 2x

4. Вычисляем значение первообразной в пределах интегрирования:

F(1) = (1⁴/4) + (1²/2) - 2(1) = 1/4 + 1/2 - 2 = 1/4 + 2/4 - 8/4 = -5/4

F(0) = (0⁴/4) + (0²/2) - 2(0) = 0

5. Вычисляем площадь:

S = |F(1) - F(0)| = |-5/4 - 0| = 5/4

Решение:

1. Находим точки пересечения графиков функций:

x² + 1 = 1 + x

x² - x = 0

x(x - 1) = 0

x₁ = 0, x₂ = 1

2. Площадь фигуры вычисляется интегралом:

S = |∫¹₀ ((x² + 1) - (1 + x)) dx| = |∫¹₀ (x² - x) dx|

3. Находим первообразную:

F(x) = ∫ (x² - x) dx = (x³/3) - (x²/2)

4. Вычисляем значение первообразной в пределах интегрирования:

F(1) = (1³/3) - (1²/2) = 1/3 - 1/2 = 2/6 - 3/6 = -1/6

F(0) = (0³/3) - (0²/2) = 0

5. Вычисляем площадь:

S = |F(1) - F(0)| = |-1/6 - 0| = 1/6