x^2 - 4|x-3| - 2x - 7 = 0

Решение:

Данное уравнение содержит квадрат переменной, абсолютное значение и линейный член. Для решения необходимо рассмотреть два случая, исходя из знака выражения под модулем.

1. Случай 1: \( x - 3 \ge 0 \), то есть \( x \ge 3 \).

В этом случае \( |x-3| = x-3 \).

Уравнение примет вид:

\[ x^2 - 4(x-3) - 2x - 7 = 0 \]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[ x^2 - 4x + 12 - 2x - 7 = 0 \]

\[ x^2 - 6x + 5 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 · 1 · 5 = 36 - 20 = 16 \]

Найдем корни \( x \):

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Поскольку мы рассматриваем случай \( x \ge 3 \), то подходит только \( x_1 = 5 \).

2. Случай 2: \( x - 3 < 0 \), то есть \( x < 3 \).

В этом случае \( |x-3| = -(x-3) = 3-x \).

Уравнение примет вид:

\[ x^2 - 4(3-x) - 2x - 7 = 0 \]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[ x^2 - 12 + 4x - 2x - 7 = 0 \]

\[ x^2 + 2x - 19 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 · 1 · (-19) = 4 + 76 = 80 \]

Найдем корни \( x \):

\[ x_3 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{80}}{2} = \frac{-2 + 4\sqrt{5}}{2} = -1 + 2\sqrt{5} \]

\[ x_4 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{80}}{2} = \frac{-2 - 4\sqrt{5}}{2} = -1 - 2\sqrt{5} \]

Приближенное значение \( \sqrt{5} \approx 2.236 \).

\( x_3 \approx -1 + 2 · 2.236 = -1 + 4.472 = 3.472 \)

\( x_4 \approx -1 - 2 · 2.236 = -1 - 4.472 = -5.472 \)

Поскольку мы рассматриваем случай \( x < 3 \), то подходит только \( x_4 = -1 - 2\sqrt{5} \). Значение \( x_3 \) не удовлетворяет условию \( x < 3 \).

3. Проверка корней:

Полученные корни: \( x = 5 \) и \( x = -1 - 2\sqrt{5} \).

Ответ: x = 5, x = -1 - 2√5.