x^2 + 25 * |x-2|/(x-2) = 0

Решение:

Уравнение содержит дробь и абсолютное значение. Необходимо учесть ОДЗ и раскрыть модуль.

1. Область допустимых значений (ОДЗ):

Знаменатель не равен нулю: \( x - 2 \neq 0 \), следовательно, \( x \neq 2 \).

2. Раскрытие модуля:

Рассмотрим два случая, основанных на знаке выражения под модулем \( x-2 \).

Случай 1: \( x - 2 > 0 \), то есть \( x > 2 \). В этом случае \( |x-2| = x-2 \).

Уравнение примет вид:

\[ x^2 + 25 · \frac{x-2}{x-2} = 0 \]

\[ x^2 + 25 · 1 = 0 \]

\[ x^2 + 25 = 0 \]

\[ x^2 = -25 \]

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Случай 2: \( x - 2 < 0 \), то есть \( x < 2 \). В этом случае \( |x-2| = -(x-2) = 2-x \).

Уравнение примет вид:

\[ x^2 + 25 · \frac{-(x-2)}{x-2} = 0 \]

\[ x^2 + 25 · (-1) = 0 \]

\[ x^2 - 25 = 0 \]

\[ x^2 = 25 \]

\[ x = \pm\sqrt{25} \]

\[ x = \pm 5 \]

Поскольку мы рассматриваем случай \( x < 2 \), то подходит только \( x = -5 \).

3. Проверка корней:

Единственный найденный корень \( x = -5 \) удовлетворяет ОДЗ (\( x \neq 2 \)) и условию случая \( x < 2 \).

Ответ: x = -5.