(15x² + x - 2)^√x-4 = 1

Это показательное уравнение. Рассмотрим случаи, когда выражение равно 1.

1. Показатель степени равен 0:

   $$\sqrt{x-4} = 0$$

   $$x - 4 = 0$$

   $$x = 4$$

   Проверим основание: $$15(4)^2 + 4 - 2 = 15 cdot 16 + 2 = 242
   eq 0$$. Значит, x = 4 является решением.

2. Основание равно 1:

   $$15x^2 + x - 2 = 1$$

   $$15x^2 + x - 3 = 0$$

   $$D = 1^2 - 4 cdot 15 cdot (-3) = 1 + 180 = 181$$

   $$x_1 = rac{-1 + sqrt{181}}{30}$$

   $$x_2 = rac{-1 - sqrt{181}}{30}$$

   Проверим ОДЗ: x - 4 ≥ 0, то есть x ≥ 4. Значит, оба корня не являются решениями.

3. Основание равно -1, а показатель степени - четное число:

   $$15x^2 + x - 2 = -1$$

   $$15x^2 + x - 1 = 0$$

   $$D = 1^2 - 4 cdot 15 cdot (-1) = 1 + 60 = 61$$

   $$x_1 = rac{-1 + sqrt{61}}{30}$$

   $$x_2 = rac{-1 - sqrt{61}}{30}$$

   Проверим показатель степени:

   Для $$x_1 = rac{-1 + sqrt{61}}{30}$$ показатель степени $$\sqrt{rac{-1 + sqrt{61}}{30} - 4}$$ не является четным числом, следовательно, не является решением.

   Для $$x_2 = rac{-1 - sqrt{61}}{30}$$ показатель степени $$\sqrt{rac{-1 - sqrt{61}}{30} - 4}$$ не является четным числом, следовательно, не является решением.

Ответ: x = 4