264 Высоты АА, и ВВ, треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если ∠BМC = 140°.

Рассмотрим треугольник BМC:

∠MBC + ∠MCB + ∠BMC = 180° (сумма углов треугольника)

∠MBC + ∠MCB + 140° = 180°

∠MBC + ∠MCB = 40°

Рассмотрим четырехугольник A₁BC₁M. ∠A₁BM = ∠MBC, ∠MCB = ∠BCA₁

∠BA₁A = 90° (AA₁ - высота), ∠BB₁A = 90° (BB₁ - высота)

∠A₁BC₁ + ∠B₁AМ + ∠AA₁B + ∠BMA = 360° (сумма углов четырехугольника)

∠BMA = 360° - ∠BA₁A - ∠BB₁A - ∠A₁MB

∠BMA = 360° - 90° - 90° - (∠MBC + ∠MCB)

∠BMA = 360° - 90° - 90° - 40° = 140°

∠AMB = ∠BMC = 140° (как вертикальные)

Рассмотрим треугольник ABM:

∠BAM + ∠ABM + ∠AMB = 180° (сумма углов треугольника)

∠BAM + ∠ABM = 180° - ∠AMB

∠BAM + ∠ABM = 180° - 140° = 40°

Рассмотрим треугольник ABC:

∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180° (сумма углов треугольника)

∠BAC = ∠BAM + 90°

∠ABC = ∠ABM + 90°

∠BAC + ∠ABC = ∠BAM + ∠ABM + 90° + 90° = 40° + 180° = 220°

∠BCA = 180° - 220° = -40°

Ошибка в условии.

Ответ: нет решения.