269 Высоты АА₁ и ВВ₁ треугольника АВС пересекаются в точ- М. Найдите ZAMB, если ∠A = 55°, ∠B = 67°. равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС про- дены биссектриса AF и высота АН. Найдите углы треуголь- ика АНГ, если ∠B = 112°.0

Пусть ABC - треугольник, AA₁ и BB₁ - высоты, M - точка пересечения высот, ∠A = 55°, ∠B = 67°.

Рассмотрим треугольник ABM.

∠AA₁B = ∠BB₁A = 90° (т.к. AA₁ и BB₁ - высоты).

∠BAM = 90° - ∠B = 90° - 67° = 23°.

∠ABM = 90° - ∠A = 90° - 55° = 35°.

∠AMB = 180° - ∠BAM - ∠ABM = 180° - 23° - 35° = 122°.

Найдем углы треугольника AHG, если ∠B = 112°.

Т.к. треугольник ABC - равнобедренный, то ∠A = ∠C = (180° - ∠B) : 2 = (180° - 112°) : 2 = 34°.

Т.к. AF - биссектриса, то ∠BAF = ∠CAF = ∠A/2 = 34°/2 = 17°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем ∠H = 90°, ∠B = 112°, следовательно ∠BAH = 180° - 90° - 112° = -22°.

Треугольник ABH не существует, т.к. сумма двух углов 90° и 112° больше 180°.

В таком случае, задача не имеет смысла, т.к. такого треугольника не существует.

Ответ: ∠AMB = 122°, треугольник AHG не существует