Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 3 см, а один из катетов равен 6 см. Найдите больший острый угол треугольника. Ответ дайте в градусах.

Для решения этой задачи нам потребуется вспомнить некоторые свойства прямоугольных треугольников и тригонометрические функции.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой. Пусть высота, опущенная из вершины C на гипотенузу AB, равна h, и один из катетов (например, AC) равен 6 см. Обозначим гипотенузу AB как c, а другой катет BC как b.

1. Находим гипотенузу.

Обозначим проекцию катета AC на гипотенузу как x. Тогда проекция катета BC на гипотенузу будет (c - x). Из свойств высоты в прямоугольном треугольнике имеем:

$$h^2 = x(c - x)$$ $$3^2 = x(c - x)$$ $$9 = x(c - x)$$

Также, из теоремы Пифагора для малых треугольников, образованных высотой:

$$AC^2 = x \cdot c$$

$$6^2 = x \cdot c$$

$$36 = x \cdot c$$

Выразим x из второго уравнения: $$x = \frac{36}{c}$$. Подставим это в первое уравнение:

$$9 = \frac{36}{c} (c - \frac{36}{c})$$

$$9 = 36 - \frac{36^2}{c^2}$$

$$\frac{36^2}{c^2} = 36 - 9$$

$$\frac{1296}{c^2} = 27$$

$$c^2 = \frac{1296}{27} = 48$$

$$c = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$

2. Находим проекцию x:

$$x = \frac{36}{4\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$$

3. Находим проекцию (c - x):

$$c - x = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$$

4. Находим катет BC (b):

$$b^2 = (c - x) \cdot c = \sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 12$$

$$b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$

5. Находим углы треугольника. Теперь у нас есть два катета: AC = 6 и BC = 2√3. Найдем тангенс угла A:

$$tan(A) = \frac{BC}{AC} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Угол A, тангенс которого равен √3/3, равен 30 градусам. Поэтому, $$A = 30^\circ$$.

Угол B будет равен 90 - 30 = 60 градусам, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусам. Поэтому, $$B = 60^\circ$$.

6. Определяем больший острый угол. Больший острый угол - это угол B, который равен 60 градусам.

Ответ: 60