10.Высота предмета равна 5 см. Линза дает на экране изображение высотой 15 см. Предмет передвинули на 1,5 см от линзы и, передвинув экран на некоторое расстояние, снова получили четкое изображение высотой 10 см. Найти фокусное расстояние линзы.

Для решения этой задачи нам потребуется использовать формулу линзы и уравнения для увеличения линзы.

Обозначим:

• \(h_1 = 5 \) см - высота предмета в первом случае,
• \(H_1 = 15 \) см - высота изображения в первом случае,
• \(h_2 = 5 \) см - высота предмета во втором случае,
• \(H_2 = 10 \) см - высота изображения во втором случае,
• \(d_1 \) - расстояние от предмета до линзы в первом случае,
• \(f_1 \) - расстояние от изображения до линзы в первом случае,
• \(d_2 = d_1 + 1.5 \) см - расстояние от предмета до линзы во втором случае,
• \(f_2 \) - расстояние от изображения до линзы во втором случае,
• \(F \) - фокусное расстояние линзы (которое нам нужно найти).

Мы знаем, что увеличение линзы равно отношению высоты изображения к высоте предмета, и также равно отношению расстояния от изображения до линзы к расстоянию от предмета до линзы:

\[\frac{H_1}{h_1} = \frac{f_1}{d_1}\]

\[\frac{H_2}{h_2} = \frac{f_2}{d_2}\]

Из первого случая:

\[\frac{15}{5} = \frac{f_1}{d_1} \Rightarrow f_1 = 3d_1\]

Из второго случая:

\[\frac{10}{5} = \frac{f_2}{d_2} \Rightarrow f_2 = 2d_2 = 2(d_1 + 1.5)\]

Теперь мы можем использовать формулу линзы для обоих случаев:

\[\frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F}\]

\[\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{1}{d_1} + \frac{1}{3d_1} = \frac{1}{F}\]

\[\frac{1}{d_1 + 1.5} + \frac{1}{2(d_1 + 1.5)} = \frac{1}{F}\]

Упростим уравнения:

\[\frac{4}{3d_1} = \frac{1}{F}\]

\[\frac{3}{2(d_1 + 1.5)} = \frac{1}{F}\]

Теперь у нас есть два уравнения для \(1/F\), поэтому мы можем их приравнять:

\[\frac{4}{3d_1} = \frac{3}{2(d_1 + 1.5)}\]

Решим это уравнение для \(d_1\):

\[8(d_1 + 1.5) = 9d_1\]

\[8d_1 + 12 = 9d_1\]

\[d_1 = 12 \) см

Теперь подставим значение \(d_1\) в одно из уравнений для \(1/F\):

\[\frac{1}{F} = \frac{4}{3 \cdot 12} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}\]

Таким образом, фокусное расстояние линзы равно:

\[F = 9 \) см

Ответ: 9 см