6. Высота правильной треугольной пирамиды равна 4√3 см, радиус окружности, описанной около ее основания, 8 см. Найдите: а) апофему пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды.

Ответ: а) 10 см, б) 144 см²

• В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Радиус описанной окружности связан со стороной треугольника формулой: \[R = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow a = R\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\]
• Центр основания пирамиды является точкой пересечения медиан (высот, биссектрис) равностороннего треугольника. Высота пирамиды проходит через эту точку.
• Апофема пирамиды (h) - это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды к стороне основания.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (H), отрезком от центра основания до середины стороны основания (r) и апофемой (h). Этот отрезок (r) является радиусом вписанной окружности в равносторонний треугольник, и он равен половине радиуса описанной окружности: \[r = \frac{R}{2} = \frac{8}{2} = 4\]
• По теореме Пифагора: \[h = \sqrt{H^2 + r^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8\]
• Площадь боковой поверхности пирамиды: \[S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (3 \cdot 8\sqrt{3}) \cdot 8 = 96\sqrt{3}\]

Ответ: а) 10 см, б) 144 см²