5. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 10 см, а двугранный угол при основании равен 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Ответ: \(200 + 100\sqrt{3}\) см²

• В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Двугранный угол при основании - это угол между апофемой и плоскостью основания.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой. Угол между апофемой и половиной стороны основания равен 60°.
• Найдем апофему: \[\tan{60^\circ} = \frac{h}{\frac{a}{2}} \Rightarrow h = \frac{a}{2} \cdot \tan{60^\circ} = \frac{10}{2} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}\]
• Площадь боковой поверхности пирамиды: \[S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (4 \cdot 10) \cdot 5\sqrt{3} = 20 \cdot 5\sqrt{3} = 100\sqrt{3}\]
• Площадь основания пирамиды: \[S_{осн} = a^2 = 10^2 = 100\]
• Площадь полной поверхности пирамиды: \[S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 100\sqrt{3} + 100 = 100(1 + \sqrt{3}) \approx 273.2\]

Ответ: \(200 + 100\sqrt{3}\) см²