5. Высота BD треугольника АВС делит сторону АС на отрезки AD и CD, BC = 6 см, ∠A = 30°, <CBD = 45°. Найдите отрезок AD.

Рассмотрим треугольник BCD. Так как ∠CBD = 45°, и BD - высота, то ∠BDC = 90°. Значит, треугольник BCD - прямоугольный и равнобедренный (так как углы при основании равны). Следовательно, BD = CD. Так как BC = 6 см, и треугольник BCD прямоугольный, то по теореме Пифагора: $$BD^2 + CD^2 = BC^2$$ Так как BD = CD, то: $$2 \cdot BD^2 = 6^2$$ $$BD^2 = \frac{36}{2} = 18$$ $$BD = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$ Итак, $$BD = CD = 3\sqrt{2}$$. Теперь рассмотрим треугольник ABD. Известно, что ∠A = 30°, BD - высота, то есть ∠BDA = 90°. Тангенс угла A определяется как: $$\tan A = \frac{BD}{AD}$$ $$AD = \frac{BD}{\tan A}$$ $$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ $$AD = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6}$$ Ответ: $$AD = 3\sqrt{6}$$ см