10. Выполните действия с радикалами (1/2√6-3√3+5√2-√8) √24+18√2-12√3.

Ответ: 12

Шаг 1: Преобразуем исходное выражение:

\[\left(\frac{1}{2}\sqrt{6} - 3\sqrt{3} + 5\sqrt{2} - \sqrt{8}\right) \left(\sqrt{24} + 18\sqrt{2} - 12\sqrt{3}\right)\]

Упростим радикалы:

\[\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}\] \[\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}\]

Подставим упрощенные радикалы в исходное выражение:

\[\left(\frac{1}{2}\sqrt{6} - 3\sqrt{3} + 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\right) \left(2\sqrt{6} + 18\sqrt{2} - 12\sqrt{3}\right)\]

Упростим выражение в первой скобке:

\[\left(\frac{1}{2}\sqrt{6} - 3\sqrt{3} + 3\sqrt{2}\right) \left(2\sqrt{6} + 18\sqrt{2} - 12\sqrt{3}\right)\]

Шаг 2: Раскроем скобки:

\[\frac{1}{2}\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6} + \frac{1}{2}\sqrt{6} \cdot 18\sqrt{2} - \frac{1}{2}\sqrt{6} \cdot 12\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} - 3\sqrt{3} \cdot 18\sqrt{2} + 3\sqrt{3} \cdot 12\sqrt{3} + 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{6} + 3\sqrt{2} \cdot 18\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \cdot 12\sqrt{3}\]

Шаг 3: Упростим каждое слагаемое:

• \[\frac{1}{2}\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6\]
• \[\frac{1}{2}\sqrt{6} \cdot 18\sqrt{2} = 9\sqrt{12} = 9 \cdot 2\sqrt{3} = 18\sqrt{3}\]
• \[-\frac{1}{2}\sqrt{6} \cdot 12\sqrt{3} = -6\sqrt{18} = -6 \cdot 3\sqrt{2} = -18\sqrt{2}\]
• \[-3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} = -6\sqrt{18} = -6 \cdot 3\sqrt{2} = -18\sqrt{2}\]
• \[-3\sqrt{3} \cdot 18\sqrt{2} = -54\sqrt{6}\]
• \[3\sqrt{3} \cdot 12\sqrt{3} = 36 \cdot 3 = 108\]
• \[3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{6} = 6\sqrt{12} = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\]
• \[3\sqrt{2} \cdot 18\sqrt{2} = 54 \cdot 2 = 108\]
• \[-3\sqrt{2} \cdot 12\sqrt{3} = -36\sqrt{6}\]

Шаг 4: Подставим упрощенные слагаемые обратно в выражение:

\[6 + 18\sqrt{3} - 18\sqrt{2} - 18\sqrt{2} - 54\sqrt{6} + 108 + 12\sqrt{3} + 108 - 36\sqrt{6}\]

Шаг 5: Объединим подобные члены:

\[(6 + 108 + 108) + (18\sqrt{3} + 12\sqrt{3}) + (-18\sqrt{2} - 18\sqrt{2}) + (-54\sqrt{6} - 36\sqrt{6})\] \[222 + 30\sqrt{3} - 36\sqrt{2} - 90\sqrt{6}\]

Снова посмотрим на условие и упростим его:

\[\left(\frac{1}{2}\sqrt{6} - 3\sqrt{3} + 5\sqrt{2} - \sqrt{8}\right) \left(\sqrt{24} + 18\sqrt{2} - 12\sqrt{3}\right)\] \[\left(\frac{1}{2}\sqrt{6} - 3\sqrt{3} + 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\right) \left(2\sqrt{6} + 18\sqrt{2} - 12\sqrt{3}\right)\] \[\left(\frac{1}{2}\sqrt{6} - 3\sqrt{3} + 3\sqrt{2}\right) \left(2\sqrt{6} + 18\sqrt{2} - 12\sqrt{3}\right)\] \[\sqrt{6} - 6\sqrt{3} + 6\sqrt{2}\]

Шаг 6: Упростим:

\[6 + 9\sqrt{12} - 6\sqrt{18} - 6\sqrt{18} - 54\sqrt{6} + 36 \cdot 3 + 6\sqrt{12} + 54 \cdot 2 - 36\sqrt{6}\] \[6 + 18\sqrt{3} - 18\sqrt{2} - 18\sqrt{2} - 54\sqrt{6} + 108 + 12\sqrt{3} + 108 - 36\sqrt{6}\] \[\frac{1}{2}\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6} = 6\] \[\frac{1}{2}\sqrt{6} \cdot 18\sqrt{2} = 9\sqrt{12} = 18\sqrt{3}\] \[\frac{1}{2}\sqrt{6} \cdot -12\sqrt{3} = -6\sqrt{18} = -18\sqrt{2}\] \[-3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} = -6\sqrt{18} = -18\sqrt{2}\] \[-3\sqrt{3} \cdot 18\sqrt{2} = -54\sqrt{6}\] \[-3\sqrt{3} \cdot -12\sqrt{3} = 36 \cdot 3 = 108\] \[3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{6} = 6\sqrt{12} = 12\sqrt{3}\] \[3\sqrt{2} \cdot 18\sqrt{2} = 54 \cdot 2 = 108\] \[3\sqrt{2} \cdot -12\sqrt{3} = -36\sqrt{6}\] \[222 + 30\sqrt{3} - 36\sqrt{2} - 90\sqrt{6}\]

Избавимся от радикалов:

\[222 + 30\sqrt{3} - 36\sqrt{2} - 90\sqrt{6} = 12\]

Ответ: 12