Вычучить определения медианы, биссектрисы, высоты и перпендикуляра. Луч m лежит внутри угла ∠bc. Найдите ∠bm и ∠cm, если ∠bc = 75°, а ∠bm в 4 раза меньше, чем ∠cm. Луч OA лежит внутри угла BOC. Найдите ∠AOB и ∠AOC, если ∠BOC = 68°, а ∠AOC на 22° меньше, чем ∠AOB.

1. Определения

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектриса угла — луч, который выходит из вершины угла и делит угол пополам.

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Перпендикуляр — прямая, пересекающая другую прямую под прямым углом, то есть под углом \(90^\circ\).

2. Решение

Пусть \(\angle bm=x\). Тогда \(\angle cm=4x\).

Так как луч \(m\) лежит внутри угла, то:

\(x+4x=75^\circ\).

\(5x=75^\circ\).

\(x=15^\circ\).

Следовательно, \(\angle bm=15^\circ\), а \(\angle cm=4\cdot15^\circ=60^\circ\).

Ответ: \(\angle bm=15^\circ\), \(\angle cm=60^\circ\).

3. Решение

Пусть \(\angle AOC=x^\circ\). Тогда \(\angle AOB=(x+22)^\circ\).

Луч \(OA\) лежит внутри угла \(BOC\), поэтому:

\(x+(x+22)=68\).

\(2x+22=68\).

\(2x=46\).

\(x=23\).

Значит, \(\angle AOC=23^\circ\), а \(\angle AOB=23^\circ+22^\circ=45^\circ\).

Ответ: \(\angle AOB=45^\circ\), \(\angle AOC=23^\circ\).