Вычислите: $$log_{2\sqrt{2}}40 - log_{2\sqrt{2}}8$$

Для решения данного примера, воспользуемся свойством логарифмов: разность логарифмов равна логарифму частного.

$$log_{a}b - log_{a}c = log_{a}\frac{b}{c}$$

Применим это свойство к нашему выражению:

$$log_{2\sqrt{2}}40 - log_{2\sqrt{2}}8 = log_{2\sqrt{2}}\frac{40}{8} = log_{2\sqrt{2}}5$$

Теперь нужно понять, в какую степень нужно возвести $$2\sqrt{2}$$, чтобы получить 5. Заметим, что $$2\sqrt{2}$$ можно представить как $$2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$$.

Тогда выражение можно переписать как:

$$log_{2^{\frac{3}{2}}}5$$

Чтобы упростить выражение, можно воспользоваться формулой перехода к другому основанию логарифма:

$$log_{a}b = \frac{log_{c}b}{log_{c}a}$$

Перейдем к основанию 2:

$$log_{2^{\frac{3}{2}}}5 = \frac{log_{2}5}{log_{2}2^{\frac{3}{2}}} = \frac{log_{2}5}{\frac{3}{2}log_{2}2} = \frac{log_{2}5}{\frac{3}{2} \cdot 1} = \frac{2}{3}log_{2}5$$

Таким образом, получаем:

$$log_{2\sqrt{2}}5 = \frac{2}{3}log_{2}5$$

Это можно оставить в таком виде, если требуется упростить выражение. Если же нужно найти численное значение, то $$log_{2}5$$ можно оценить или найти с помощью калькулятора.

Теперь оценим значение $$log_{2}5$$. Мы знаем, что $$2^2 = 4$$ и $$2^3 = 8$$. Так как 5 находится между 4 и 8, то $$log_{2}5$$ находится между 2 и 3. Примерно $$log_{2}5 \approx 2.32$$.

Тогда:

$$\frac{2}{3}log_{2}5 \approx \frac{2}{3} \cdot 2.32 \approx 1.55$$

Если требуется точное значение, нужно использовать калькулятор или оставить в виде $$\frac{2}{3}log_{2}5$$.

Ответ: $$log_{2\sqrt{2}}5 = \frac{2}{3}log_{2}5 \approx 1.55$$