Решение:

3. Вычислите:

а) $$\frac{15^{13} \cdot 15^{6}}{15^{17}}$$

При умножении чисел с одинаковым основанием показатели степеней складываются: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$. При делении чисел с одинаковым основанием показатели степеней вычитаются: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$.

Следовательно:

$$\frac{15^{13} \cdot 15^{6}}{15^{17}} = \frac{15^{13+6}}{15^{17}} = \frac{15^{19}}{15^{17}} = 15^{19-17} = 15^{2} = 225$$

Ответ: 225

б) $$\frac{6^{8}}{6 \cdot 6^{4}}$$

Представим 6 как 6 в первой степени: $$\frac{6^{8}}{6^1 \cdot 6^{4}}$$.

Теперь упростим знаменатель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием:

$$\frac{6^{8}}{6^1 \cdot 6^{4}} = \frac{6^{8}}{6^{1+4}} = \frac{6^{8}}{6^{5}} = 6^{8-5} = 6^{3} = 216$$

Ответ: 216

4. Вычислите

а) $$\frac{27^{3} \cdot 3^{4}}{3^{10}}$$

Представим 27 как 3 в третьей степени: $$\frac{(3^{3})^{3} \cdot 3^{4}}{3^{10}}$$.

При возведении степени в степень показатели перемножаются: $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$. Следовательно:

$$\frac{(3^{3})^{3} \cdot 3^{4}}{3^{10}} = \frac{3^{3 \cdot 3} \cdot 3^{4}}{3^{10}} = \frac{3^{9} \cdot 3^{4}}{3^{10}} = \frac{3^{9+4}}{3^{10}} = \frac{3^{13}}{3^{10}} = 3^{13-10} = 3^{3} = 27$$

Ответ: 27

б) $$\frac{5^{5} \cdot 6^{5}}{30^{3}}$$.

Разложим 6 на 2 и 3: $$\frac{5^{5} \cdot (2 \cdot 3)^{5}}{30^{3}}$$.

При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: $$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$. Следовательно:

$$\frac{5^{5} \cdot (2 \cdot 3)^{5}}{30^{3}} = \frac{5^{5} \cdot 2^{5} \cdot 3^{5}}{30^{3}}$$.

Представим 30 как произведение 5 и 6, а затем как произведение 5, 2 и 3: $$\frac{5^{5} \cdot 2^{5} \cdot 3^{5}}{(5 \cdot 6)^{3}} = \frac{5^{5} \cdot 2^{5} \cdot 3^{5}}{(5 \cdot 2 \cdot 3)^{3}} = \frac{5^{5} \cdot 2^{5} \cdot 3^{5}}{5^{3} \cdot 2^{3} \cdot 3^{3}}$$.

Теперь сократим степени:

$$\frac{5^{5} \cdot 2^{5} \cdot 3^{5}}{5^{3} \cdot 2^{3} \cdot 3^{3}} = 5^{5-3} \cdot 2^{5-3} \cdot 3^{5-3} = 5^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2} = 25 \cdot 4 \cdot 9 = 100 \cdot 9 = 900$$

Ответ: 900