Вычислите значение выражения (3 – 1)(3 + 1)(3² + 1)(3⁴ + 1)(3⁸ + 1) – 3¹⁶ + 50.

Привет! Давай посчитаем это выражение. Тут есть хитрость, связанная с формулой разности квадратов.

Задание 2: Вычисление значения выражения

Наше выражение:

\[ (3 - 1)(3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1) - 3^{16} + 50 \]

Обрати внимание на первые два множителя: $$(3 - 1)(3 + 1)$$. Это формула разности квадратов:

\[ (3 - 1)(3 + 1) = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8 \]

Теперь выражение выглядит так:

\[ 8(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1) - 3^{16} + 50 \]

А теперь заметим, что $$8 = 2 \times 4$$ и $$4 = 3^2 - 1$$. Так что мы можем продолжить применять разность квадратов!

\[ (3 - 1)(3 + 1) = 3^2 - 1 \]

Теперь умножим на $$(3^2 + 1)$$:

\[ (3^2 - 1)(3^2 + 1) = (3^2)^2 - 1^2 = 3^4 - 1 \]

Умножим результат на $$(3^4 + 1)$$:

\[ (3^4 - 1)(3^4 + 1) = (3^4)^2 - 1^2 = 3^8 - 1 \]

И наконец, умножим на $$(3^8 + 1)$$:

\[ (3^8 - 1)(3^8 + 1) = (3^8)^2 - 1^2 = 3^{16} - 1 \]

Итак, вся первая часть выражения равна $$3^{16} - 1$$. Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\[ (3^{16} - 1) - 3^{16} + 50 \]

Раскроем скобки:

\[ 3^{16} - 1 - 3^{16} + 50 \]

Слагаемые $$3^{16}$$ и $$-3^{16}$$ взаимно уничтожаются:

\[ -1 + 50 \]

\[ 49 \]

Ответ: 49