Вычислите: \(\frac{(5^4)^5 : (5^2)^4}{5 \cdot (5^3)^2}\).

Решение:

Воспользуемся свойствами степеней:

1. Числитель: \( (5^4)^5 : (5^2)^4 = 5^{4 \cdot 5} : 5^{2 \cdot 4} = 5^{20} : 5^8 = 5^{20-8} = 5^{12} \).
2. Знаменатель: \( 5 \cdot (5^3)^2 = 5^1 \cdot 5^{3 \cdot 2} = 5^1 \cdot 5^6 = 5^{1+6} = 5^7 \).
3. Итоговое выражение: \( \frac{5^{12}}{5^7} = 5^{12-7} = 5^5 \).
4. Вычисление: \( 5^5 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 25 \cdot 5 = 625 \cdot 5 = 3125 \).

Ответ: 3125.