Вычислите: $$\sqrt{50} \cos^2 \frac{9\pi}{8} - \sqrt{50} \sin^2 \frac{9\pi}{8}$$.

Для решения данного выражения, воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$$.

Также вынесем $$\sqrt{50}$$ за скобки:

$$\sqrt{50}(\cos^2 \frac{9\pi}{8} - \sin^2 \frac{9\pi}{8})$$

Теперь применим формулу косинуса двойного угла:

$$\sqrt{50} \cos(2 \cdot \frac{9\pi}{8}) = \sqrt{50} \cos(\frac{9\pi}{4})$$

Так как косинус имеет период $$2\pi$$, можем упростить угол:

$$\cos(\frac{9\pi}{4}) = \cos(\frac{9\pi}{4} - 2\pi) = \cos(\frac{9\pi}{4} - \frac{8\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4})$$

Следовательно:

$$\sqrt{50} \cos(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{50} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Так как $$50 = 25 \cdot 2$$, то $$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$$. Подставим это значение:

$$5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$$

Ответ: 5