Вычислите: $$\left(\left(3\frac{1}{3}+5\frac{7}{9}\right)\cdot 2\frac{1}{4}-1\frac{1}{15}\cdot\left(3\frac{5}{6}-\frac{7}{12}+9\frac{7}{8}\right)\right)\cdot\frac{16}{39}$$.

Для решения данного выражения, выполним действия по порядку, преобразуя смешанные числа в неправильные дроби.

1. $$3\frac{1}{3} = \frac{3\cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$$
2. $$5\frac{7}{9} = \frac{5\cdot 9 + 7}{9} = \frac{52}{9}$$
3. $$2\frac{1}{4} = \frac{2\cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$$
4. $$1\frac{1}{15} = \frac{1\cdot 15 + 1}{15} = \frac{16}{15}$$
5. $$3\frac{5}{6} = \frac{3\cdot 6 + 5}{6} = \frac{23}{6}$$
6. $$9\frac{7}{8} = \frac{9\cdot 8 + 7}{8} = \frac{79}{8}$$

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$$ \left(\left(\frac{10}{3}+ \frac{52}{9}\right)\cdot \frac{9}{4}- \frac{16}{15}\cdot\left(\frac{23}{6}-\frac{7}{12}+\frac{79}{8}\right)\right)\cdot\frac{16}{39} $$

Выполним сложение в первой скобке: приведем дроби к общему знаменателю 9.

$$\frac{10}{3} + \frac{52}{9} = \frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{52}{9} = \frac{30}{9} + \frac{52}{9} = \frac{82}{9}$$

Выполним умножение:

$$ \frac{82}{9} \cdot \frac{9}{4} = \frac{82 \cdot 9}{9 \cdot 4} = \frac{82}{4} = \frac{41}{2} $$

Выполним действия во второй скобке: приведем дроби к общему знаменателю 24.

$$ \frac{23}{6} - \frac{7}{12} + \frac{79}{8} = \frac{23 \cdot 4}{6 \cdot 4} - \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} + \frac{79 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{92}{24} - \frac{14}{24} + \frac{237}{24} = \frac{92 - 14 + 237}{24} = \frac{315}{24} = \frac{105}{8}$$

Выполним умножение:

$$ \frac{16}{15} \cdot \frac{105}{8} = \frac{16 \cdot 105}{15 \cdot 8} = \frac{2 \cdot 105}{15} = \frac{2 \cdot 21}{3} = \frac{42}{3} = 14 $$

Выполним вычитание:

$$ \frac{41}{2} - 14 = \frac{41}{2} - \frac{14 \cdot 2}{2} = \frac{41}{2} - \frac{28}{2} = \frac{41 - 28}{2} = \frac{13}{2}$$

Выполним умножение:

$$ \frac{13}{2} \cdot \frac{16}{39} = \frac{13 \cdot 16}{2 \cdot 39} = \frac{13 \cdot 8}{39} = \frac{13 \cdot 8}{3 \cdot 13} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} $$

Ответ: $$2\frac{2}{3}$$