Вычислите: $$\frac{(5^7)^4 \cdot 5^2}{5^{27}}$$

Для решения данного примера нам необходимо воспользоваться свойствами степеней.

1. Сначала раскроем скобки в числителе. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

$$(5^7)^4 = 5^{7 \cdot 4} = 5^{28}$$

2. Теперь перемножим степени с одинаковым основанием в числителе. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

$$5^{28} \cdot 5^2 = 5^{28+2} = 5^{30}$$

3. Теперь разделим степени с одинаковым основанием. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$

$$\frac{5^{30}}{5^{27}} = 5^{30-27} = 5^3$$

4. Вычислим $$5^3$$:

$$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$$