Вычислите \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\), если \(\alpha\) - острый угол и \(tg \alpha = \frac{3}{4}\).

Ответ: \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\), \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\)

1. Вспоминаем основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\]
2. Выражаем косинус через тангенс, используя \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\): \[\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{3}{4} \cos \alpha\]
3. Подставляем это выражение в основное тригонометрическое тождество: \[(\frac{3}{4} \cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1\] \[\frac{9}{16} \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\] \[\frac{25}{16} \cos^2 \alpha = 1\] \[\cos^2 \alpha = \frac{16}{25}\] \[\cos \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\]
4. Теперь находим синус: \[\sin \alpha = \frac{3}{4} \cdot \cos \alpha = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{5}\]

Ответ: \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\), \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\)