В равнобедренном \(\triangle ABC\) основание \(AC = 20\) см, угол при основании равен \(L\). Найдите площадь \(\triangle ABC\), если \(\cos L = 0.6\).

Ответ: Площадь треугольника равна 133.33 см²

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому \(\angle A = \angle C = L\). Проведем высоту \(BH\) к основанию \(AC\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ABH\). Тогда \(\cos L = \frac{AH}{AB}\).
2. Выразим \(AB\) через \(\cos L\): \[AB = \frac{AH}{\cos L}\] Так как \(AH = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10\) см и \(\cos L = 0.6\), то: \[AB = \frac{10}{0.6} = \frac{100}{6} = \frac{50}{3}\) см.
3. Теперь найдем \(\sin L\). Зная, что \(\sin^2 L + \cos^2 L = 1\), получаем: \[\sin^2 L = 1 - \cos^2 L = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64\] \[\sin L = \sqrt{0.64} = 0.8\]
4. Высоту \(BH\) можно выразить через \(AB\) и \(\sin L\) в прямоугольном треугольнике \(\triangle ABH\): \[BH = AB \cdot \sin L = \frac{50}{3} \cdot 0.8 = \frac{50}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{40}{3}\) см.
5. Площадь треугольника \(\triangle ABC\) равна: \[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot \frac{40}{3} = 10 \cdot \frac{40}{3} = \frac{400}{3} = 133.33\) см².

Ответ: Площадь треугольника равна 133.33 см²