Вычислите: $$rac{2a^{12}b^{24}}{(-81)^{-5} \cdot 9^{-15} \cdot 27^{-3}}$$

Для решения этого выражения нужно упростить знаменатель, используя свойства степеней. Заметим, что $$81 = 3^4$$, $$9 = 3^2$$, и $$27 = 3^3$$. Тогда знаменатель можно переписать следующим образом:

$$ (-81)^{-5} \cdot 9^{-15} \cdot 27^{-3} = (-3^4)^{-5} \cdot (3^2)^{-15} \cdot (3^3)^{-3} $$

Используем свойство $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

$$ = (-1)^{-5} \cdot (3^{4 \cdot (-5)}) \cdot (3^{2 \cdot (-15)}) \cdot (3^{3 \cdot (-3)}) = -1 \cdot 3^{-20} \cdot 3^{-30} \cdot 3^{-9} $$

Теперь используем свойство $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

$$ = -3^{-20 - 30 - 9} = -3^{-59} $$

Исходное выражение примет вид:

$$ \frac{2a^{12}b^{24}}{-3^{-59}} = -2a^{12}b^{24} \cdot 3^{59} $$

Таким образом, окончательный ответ:

$$-2 \cdot 3^{59} a^{12} b^{24}$$.