Решение заданий на вычисление производной

1. y = √5

   Производная константы равна 0.

   Ответ: y' = 0

2. y = 5x⁶ - 2x - 4,5

   Применяем правило производной суммы/разности и степенной функции.

   y' = 5 × 6x⁵ - 2 - 0

   Ответ: y' = 30x⁵ - 2

3. y = e³ˣ + x³

   Применяем правило производной сложной функции и степенной функции.

   y' = e³ˣ × 3 + 3x²

   Ответ: y' = 3e³ˣ + 3x²

4. y = e³ˣ⁺¹ + 3x³

   Применяем правило производной сложной функции и степенной функции.

   y' = e³ˣ⁺¹ × 3 + 3 × 3x²

   Ответ: y' = 3e³ˣ⁺¹ + 9x²

5. y = 10ˣ - x²

   Применяем правило производной показательной функции и степенной функции.

   y' = 10ˣ × ln(10) - 2x

   Ответ: y' = 10ˣln(10) - 2x

6. y = 3lnx + 2ˣ

   Применяем правило производной логарифмической функции и показательной функции.

   y' = 3 × (1/x) + 2ˣ × ln(2)

   Ответ: y' = 3/x + 2ˣln(2)

7. y = sin x - 1

   Применяем правило производной синуса и константы.

   y' = cos x - 0

   Ответ: y' = cos x

8. y = (x² - x) (x³ + x)

   Применяем правило производной произведения:

   y' = (2x - 1)(x³ + x) + (x² - x)(3x² + 1)

   y' = 2x⁴ + 2x² - x³ - x + 3x⁴ + x² - 3x³ - x

   y' = 5x⁴ - 4x³ + 3x² - 2x

   Ответ: y' = 5x⁴ - 4x³ + 3x² - 2x

9. y = (x² + 1) / (x + 1)

   Применяем правило производной частного:

   $$y' = \frac{(2x)(x+1) - (x^2+1)(1)}{(x+1)^2}$$

   $$y' = \frac{2x^2 + 2x - x^2 - 1}{(x+1)^2}$$

   $$y' = \frac{x^2 + 2x - 1}{(x+1)^2}$$

   Ответ: $$y' = \frac{x^2 + 2x - 1}{(x+1)^2}$$

10. y = 2x³ - 3x² - 12x + 1

    Найдем производную:

    y' = 6x² - 6x - 12

    Приравняем производную к 0:

    6x² - 6x - 12 = 0

    x² - x - 2 = 0

    Решаем квадратное уравнение:

    D = (-1)² - 4 × 1 × (-2) = 1 + 8 = 9

    x₁ = (1 + √9) / 2 = (1 + 3) / 2 = 2

    x₂ = (1 - √9) / 2 = (1 - 3) / 2 = -1

    Ответ: x = 2, x = -1