Внутри треугольника АВС взята такая точка D, что AD = AB. Докажите, что АС > АВ.

1. Так как \(AD = AB\), треугольник \(ABD\) - равнобедренный.
2. Пусть \(\angle ADB = \alpha\). Тогда \(\angle ABD = \angle ADB = \alpha\).
3. Значит, \(\angle BAD = 180^\circ - 2\alpha\).
4. \(\angle ADC\) - смежный с \(\angle ADB\), поэтому \(\angle ADC = 180^\circ - \alpha\).
5. Рассмотрим треугольник \(ADC\). В нем \(\angle DAC = \angle BAC - \angle BAD = \angle BAC - (180^\circ - 2\alpha)\).
6. Сумма углов в треугольнике \(ADC\) равна 180°: \(\angle DAC + \angle ADC + \angle ACD = 180^\circ\).
7. Подставим известные значения: \(\angle BAC - (180^\circ - 2\alpha) + (180^\circ - \alpha) + \angle ACD = 180^\circ\).
8. Упростим: \(\angle BAC + \alpha + \angle ACD = 180^\circ\).
9. Теперь рассмотрим треугольник \(ABC\). В нем \(\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = \alpha + \angle DBC\).
10. Сумма углов в треугольнике \(ABC\) равна 180°: \(\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ\).
11. Подставим известные значения: \(\angle BAC + \alpha + \angle DBC + \angle ACD = 180^\circ\).
12. Сравнивая два уравнения:
    • \(\angle BAC + \alpha + \angle ACD = 180^\circ\)
    • \(\angle BAC + \alpha + \angle DBC + \angle ACD = 180^\circ\)
    получаем, что \(\angle DBC = 0^\circ\). Но это невозможно, так как \(D\) лежит внутри треугольника \(ABC\).

Проблема в том, что мы не можем точно определить угол \(\angle DBC\). Нужно использовать другой подход.

Предположим, что \(AC \le AB\). Тогда \(AC \le AD\) (так как \(AD = AB\)).

1. Соединим точки \(B\) и \(D\).
2. Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(ADC\).
3. \(AD = AB\) (по условию).
4. \(BD\) - общая сторона.
5. Если \(AC \le AD\), то угол, противолежащий стороне \(AC\), должен быть меньше или равен углу, противолежащему стороне \(AD\).
6. То есть \(\angle ADB \le \angle ACB\).
7. Но \(\angle ADB\) - внешний угол треугольника \(BDC\), поэтому \(\angle ADB > \angle ACB\).
8. Получили противоречие. Значит, \(AC > AB\).