Контрольные задания > В треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС, отрезок AD — биссектриса. Докажите, что ∠ADB> CD.
Вопрос:

В треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС, отрезок AD — биссектриса. Докажите, что ∠ADB> <ADC и BD > CD.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение

Краткое пояснение: Докажем, что \(\angle ADB > \angle ADC\) и \(BD > CD\), используя свойства биссектрисы, неравенство треугольника и тот факт, что \(AB > AC\).

Пусть в треугольнике \(ABC\) сторона \(AB > AC\), и \(AD\) - биссектриса. Нужно доказать, что \(\angle ADB > \angle ADC\) и \(BD > CD\).

Показать доказательство
  1. Проведем биссектрису \(AD\). Тогда \(\angle BAD = \angle CAD\).
  2. Предположим, что \(\angle ADB = \angle ADC\). Так как \(\angle ADB + \angle ADC = 180^\circ\), то \(\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ\).
  3. Тогда треугольники \(ABD\) и \(ACD\) - прямоугольные.
  4. Если \(\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ\), то \(AD\) - высота, а значит, и медиана (так как \(AD\) - биссектриса). Следовательно, \(BD = CD\).
  5. Но если \(AD\) - высота и медиана, то треугольник \(ABC\) - равнобедренный, и \(AB = AC\). Это противоречит условию, что \(AB > AC\). Значит, \(\angle ADB
    e \angle ADC\).
  6. Предположим, что \(\angle ADB < \angle ADC\).
  7. В треугольнике \(ABD\) угол \(\angle BAD\) равен \(\frac{1}{2}\angle BAC\).
  8. В треугольнике \(ACD\) угол \(\angle CAD\) равен \(\frac{1}{2}\angle BAC\).
  9. Сумма углов в треугольнике равна 180°: \(\angle BAD + \angle ADB + \angle ABD = 180^\circ\) и \(\angle CAD + \angle ADC + \angle ACD = 180^\circ\).
  10. Если \(\angle ADB < \angle ADC\), то \(\angle ABD > \angle ACD\).
  11. По теореме синусов: \[\frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)}\] \[\frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = \frac{AD}{\sin(\angle ACD)}\]
  12. Так как \(\sin(\angle ADB) < \sin(\angle ADC)\) и \(\sin(\angle ABD) > \sin(\angle ACD)\), то \(AB < AC\). Это противоречит условию, что \(AB > AC\). Значит, \(\angle ADB
    less \angle ADC\).
  13. Следовательно, \(\angle ADB > \angle ADC\).

Теперь докажем, что \(BD > CD\).

  1. Так как \(\angle ADB > \angle ADC\), то \(\angle BDC < 180^\circ - \angle ADB\).
  2. В треугольнике \(ABD\) против большего угла лежит большая сторона.
  3. В треугольниках \(ABD\) и \(ACD\) сторона \(AD\) - общая, и \(\angle BAD = \angle CAD\).
  4. По теореме косинусов: \[BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle BAD)\] \[CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(\angle CAD)\]
  5. Так как \(AB > AC\) и \(\angle BAD = \angle CAD\), то \(BD^2 > CD^2\), а значит, \(BD > CD\).

Ответ: Доказано, что \(\angle ADB > \angle ADC\) и \(BD > CD\).

Проверка за 10 секунд: Вспомни, что большая сторона лежит против большего угла, а биссектриса делит угол пополам.

Доп. профит: Уровень Эксперт: Зная свойства углов и биссектрис, можно решать сложные задачи геометрии быстро и эффективно!

ГДЗ по фото 📸

Похожие