Вершины прямоугольного треугольника с катетами 15 и √351 лежат на сфере. Найдите радиус, если расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно 5.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AB = 15 и BC = $$sqrt{351}$$. Вершины этого треугольника лежат на сфере. Пусть O - центр сферы, и расстояние от O до плоскости треугольника ABC равно 5.

Найдём гипотенузу AC треугольника ABC по теореме Пифагора: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 15^2 + (sqrt{351})^2 = 225 + 351 = 576$$

$$AC = sqrt{576} = 24$$

Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы. Пусть M - середина AC. Тогда AM = MC = $$rac{AC}{2} = rac{24}{2} = 12$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OMA, где OA - радиус сферы, OM - расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, AM = 12. По теореме Пифагора:

$$OA^2 = OM^2 + AM^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$

$$OA = sqrt{169} = 13$$

Ответ: 13