2 вариант 1.C(-4;6), D(-1;2). Найдите координаты CD 2. MN{-2; 3}. Найдите длину М. 3. Точка А-середина отрезка CD. Найдите координаты точки А, если С(2;-4), D(1;10). 4 Даны координаты вершин четырехугольника ABCD: A(-6;1), B(0;5), C(6;-4), D(0;-8). Докажите, что ABCD – араллелограмм и найдите координаты очки пересечения его диагоналей. 5. В ДМКР <M=45°, высота КН делит сторону МР на отрезки, длины которых 6и 2, считая от вершины М. Найдите длину медианы, поведенной из вершины М.

1. Найдем координаты вектора $$\overrightarrow{CD}$$. $$\overrightarrow{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C) = (-1 - (-4), 2 - 6) = (3, -4)$$. 2. Найдем длину вектора $$\overrightarrow{MN}$$. Длина вектора $$\overrightarrow{MN} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$. 3. Найдем координаты точки A — середины отрезка CD. $$x_A = \frac{x_C + x_D}{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$$ $$y_A = \frac{y_C + y_D}{2} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ Координаты точки A: (1.5, 3). 4. Даны координаты вершин четырехугольника ABCD: A(-6;1), B(0;5), C(6;-4), D(0;-8). Докажите, что ABCD — параллелограмм и найдите координаты точки пересечения его диагоналей. * Проверим, что ABCD — параллелограмм. $$\overrightarrow{AB} = (0 - (-6), 5 - 1) = (6, 4)$$ $$\overrightarrow{DC} = (6 - 0, -4 - (-8)) = (6, 4)$$ Так как $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$$, то AB || DC и AB = DC. Значит, ABCD — параллелограмм. * Найдем координаты точки пересечения диагоналей. Точка пересечения диагоналей параллелограмма является серединой каждой из диагоналей. Найдем координаты середины диагонали AC — точки O. $$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-6 + 6}{2} = 0$$ $$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{1 + (-4)}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5$$ Координаты точки O: (0, -1.5). 5. В $$\triangle MKP$$ $$\angle M = 45^\circ$$, высота KH делит сторону MP на отрезки, длины которых 6 и 2, считая от вершины M. Найдите длину медианы, проведенной из вершины M. * Пусть MH = 6, HP = 2. Тогда MP = MH + HP = 6 + 2 = 8. * Пусть M — вершина угла, K — вершина, из которой проведена высота, P — третья вершина треугольника. * Медиана, проведенная из вершины M, делит сторону KP пополам. Пусть T — середина KP, тогда MT — медиана. * Рассмотрим $$\triangle MKH$$. Он прямоугольный, $$\angle M = 45^\circ$$, следовательно, $$\angle K = 45^\circ$$, и $$\triangle MKH$$ — равнобедренный. Тогда MH = KH = 6. * Рассмотрим $$\triangle KHP$$. Он прямоугольный. По теореме Пифагора, $$KP = \sqrt{KH^2 + HP^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$$. * Так как T — середина KP, то $$KT = TP = \frac{KP}{2} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}$$. * Пусть H лежит между K и T. Тогда $$HT = KT - KH = \sqrt{10} - 6$$. Это невозможно, так как $$\sqrt{10} \approx 3.16 < 6$$. Значит, T лежит между K и H. * $$HT = KH - KT = 6 - \sqrt{10}$$. * Рассмотрим $$\triangle MHT$$. По теореме Пифагора, $$MT = \sqrt{MH^2 + HT^2} = \sqrt{6^2 + (6 - \sqrt{10})^2} = \sqrt{36 + 36 - 12\sqrt{10} + 10} = \sqrt{82 - 12\sqrt{10}} \approx 6.34$$