Вариант 3 Решить неравенство 1.√6-5x > -0,5 2.√x-3 <x-5 3.√3 + 2x ≥ √x + 1 Решить уравнение 4. √x + 7 + √x−2=9 5.19 - x3 = 3

Это задание по алгебре, содержащее неравенства и уравнения с квадратными корнями. Требуется решить каждое из них.

1. √6-5x > -0,5

ОДЗ: 6-5x ≥ 0, следовательно, x ≤ 6/5.

Возведем обе части неравенства в квадрат:

$$6-5x > 0.25$$

$$5x < 6-0.25$$

$$5x < 5.75$$

$$x < 1.15$$

Учитывая ОДЗ, получаем: $$x < 1.15$$

2. √x-3 < x-5

ОДЗ: x-3 ≥ 0, следовательно, x ≥ 3.

Также необходимо, чтобы x-5 > 0, следовательно, x > 5.

Тогда ОДЗ: x > 5.

Возведем обе части неравенства в квадрат:

$$x-3 < (x-5)^2$$

$$x-3 < x^2-10x+25$$

$$x^2-11x+28 > 0$$

Найдем корни квадратного уравнения x^2-11x+28 = 0:

$$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 121 - 112 = 9$$

$$x_1 = \frac{11 + \sqrt{9}}{2} = \frac{11+3}{2} = 7$$

$$x_2 = \frac{11 - \sqrt{9}}{2} = \frac{11-3}{2} = 4$$

Так как x > 5, то решением неравенства является x > 7 или 4 (посторонний корень)

Окончательно: x > 7

3. √3 + 2x ≥ √x + 1

ОДЗ: 3+2x ≥ 0 и x+1 ≥ 0.

Следовательно, x ≥ -3/2 и x ≥ -1. Итого, x ≥ -1.

Возведем обе части неравенства в квадрат:

$$3+2x ≥ x+1$$

$$2x - x ≥ 1-3$$

$$x ≥ -2$$

Учитывая ОДЗ x ≥ -1, получаем x ≥ -1

4. √x + 7 + √x−2=9

ОДЗ: x+7 ≥ 0 и x-2 ≥ 0, следовательно, x ≥ -7 и x ≥ 2. Итого x ≥ 2.

Перенесем один из корней в правую часть:

$$√x+7 = 9 - √x-2$$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$x+7 = 81 - 18√x-2 + x-2$$

$$18√x-2 = 81-2-7$$

$$18√x-2 = 72$$

$$√x-2 = 4$$

Возведем обе части в квадрат:

$$x-2 = 16$$

$$x = 18$$

Проверка: √18+7 + √18-2 = √25 + √16 = 5 + 4 = 9.

Ответ: x = 18

5. √19 - x³ = 3

ОДЗ: 19 - x³ ≥ 0, следовательно, x³ ≤ 19, x ≤ ∛19

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$$19 - x^3 = 9$$

$$x^3 = 10$$

$$x = \sqrt[3]{10}$$

Проверка:

$$\sqrt{19 - (\sqrt[3]{10})^3} = \sqrt{19-10} = \sqrt{9} = 3$$

Ответ: $$x = \sqrt[3]{10}$$