Вариант 1 Контрольная работа №3 по теме «Векторы. Метод координат на плоскости»

Решаю задания для Варианта 1.

1. Перенесите рисунок в тетрадь
   • а) Запишите координаты векторов $$\vec{MA}$$ и $$\vec{FB}$$
   • б) Найдите координаты вектора $$\vec{MA} + \vec{FB}$$
   • в) Найдите координаты вектора $$\vec{MA} - \vec{FB}$$
   • г) Найдите скалярное произведение $$\vec{MA} \cdot \vec{FB}$$

По рисунку определяем координаты точек: $$M(-4; 1)$$, $$A(-1; 1)$$, $$F(1; 3)$$, $$B(1; 1)$$.

Тогда:

1. a) Координаты векторов:

   • $$\vec{MA} = A - M = (-1 - (-4); 1 - 1) = (3; 0)$$
   • $$\vec{FB} = B - F = (1 - 1; 1 - 3) = (0; -2)$$

2. б) Координаты вектора $$\vec{MA} + \vec{FB}$$:

   $$\vec{MA} + \vec{FB} = (3 + 0; 0 + (-2)) = (3; -2)$$

3. в) Координаты вектора $$\vec{MA} - \vec{FB}$$:

   $$\vec{MA} - \vec{FB} = (3 - 0; 0 - (-2)) = (3; 2)$$

4. г) Скалярное произведение $$\vec{MA} \cdot \vec{FB}$$:

   $$\vec{MA} \cdot \vec{FB} = (3 \cdot 0) + (0 \cdot (-2)) = 0 + 0 = 0$$

2. Найдите координаты и длину $$\vec{AB}$$, если $$A(-2; 5)$$, $$B(1; 4)$$.

   Координаты вектора $$\vec{AB} = B - A = (1 - (-2); 4 - 5) = (3; -1)$$.

   Длина вектора $$|\vec{AB}| = \sqrt{(3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$.

3. Найдите координаты середины отрезка с концами $$A(-1; 4)$$, $$B(3; 1)$$.

   Координаты середины отрезка $$C(x_c; y_c)$$, где

   $$x_c = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

   $$y_c = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$$

   Следовательно, координаты середины отрезка $$C(1; 2.5)$$.

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки $$B(2; 2)$$ и $$D(0; -4)$$.

   Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:

   $$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$$

   В нашем случае $$x_1 = 2$$, $$y_1 = 2$$, $$x_2 = 0$$, $$y_2 = -4$$.

   Тогда:

   $$\frac{x - 2}{0 - 2} = \frac{y - 2}{-4 - 2}$$

   $$\frac{x - 2}{-2} = \frac{y - 2}{-6}$$

   $$6(x - 2) = 2(y - 2)$$

   $$6x - 12 = 2y - 4$$

   $$2y = 6x - 8$$

   $$y = 3x - 4$$

5. Составьте уравнение окружности с центром $$O(-8; 3)$$ и радиусом, равным 10. Принадлежит ли этой окружности точка $$(-16; 9)$$?

   Уравнение окружности с центром $$(x_0; y_0)$$ и радиусом $$R$$ имеет вид:

   $$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$$

   В нашем случае $$x_0 = -8$$, $$y_0 = 3$$, $$R = 10$$.

   Тогда:

   $$(x - (-8))^2 + (y - 3)^2 = 10^2$$

   $$(x + 8)^2 + (y - 3)^2 = 100$$

   Подставим координаты точки $$(-16; 9)$$ в уравнение:

   $$(-16 + 8)^2 + (9 - 3)^2 = (-8)^2 + (6)^2 = 64 + 36 = 100$$

   Так как равенство выполняется, точка $$(-16; 9)$$ принадлежит окружности.