Вариант ІІ 1. Докажите равенство треугольников MON и PON на рисунке 3, если ∠MON = ∠PON, а луч NO- биссектриса ∠MNP. Найдите углы треугольника NOP, если ∠MNO = 28°, ∠NMO = 42°, ∠NOM=110°. 2. На рисунке 4 ДЕ = ДК, СЕ = СК. Докажите, что луч СД - биссектриса угла ЕСК.

1. Рассмотрим треугольники MON и PON. По условию, ∠MON = ∠PON. Также по условию, NO - биссектриса угла MNP, следовательно, ∠MNO = ∠PNO. Сторона NO - общая. Следовательно, треугольники MON и PON равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Найдем углы треугольника NOP. ∠MNO = ∠PNO = 28°, ∠NMO = 42°, ∠NOM=110°.

Треугольники MON и PON равны, следовательно, ∠NPO = ∠NMO = 42°, ∠PNO = ∠MNO = 28°, ∠NOP = ∠NOM = 110°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Проверим, выполняется ли это условие для треугольника NOP: 42° + 28° + 110° = 180°. Все верно.

Ответ: ∠NPO = 42°, ∠PNO = 28°, ∠NOP = 110°.

2. Рассмотрим треугольники ДСЕ и ДСК. По условию, ДЕ = ДК и СЕ = СК. Сторона ДС - общая. Следовательно, треугольники ДСЕ и ДСК равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует, что углы, лежащие против соответствующих сторон, также равны: ∠ДСЕ = ∠ДСК. Следовательно, СД - биссектриса угла ЕСК.

Ответ: луч СД - биссектриса угла ЕСК.