Вариант А2. 2. Постройте график функции y = x² − 2x − 3. а) Найдите по графику промежутки, в которых y > 0 и y < 0. б) Не выполняя дополнительных построений, найдите координаты точек пересечения данного графика с графиком функции y = 3x + 47.

Преобразуем функцию: \(y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4\). Вершина параболы — \((1;-4)\), ось симметрии — \(x=1\). Нули функции: \((x+1)(x-3)=0\), то есть \(x=-1\) и \(x=3\). Ветви параболы направлены вверх.

а) Следовательно, \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)\), а \(y<0\) при \(x\in(-1;3)\).

б) При пересечении графиков значения функций равны:

\(x^2-2x-3=3x+47\),
\(x^2-5x-50=0\),
\((x-10)(x+5)=0\), поэтому \(x=10\) или \(x=-5\).

При \(x=10\): \(y=3\cdot10+47=77\). При \(x=-5\): \(y=3\cdot(-5)+47=32\). Точки пересечения: \((10;77)\) и \((-5;32)\).

Ответ: а) \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)\), \(y<0\) при \(x\in(-1;3)\); б) \((-5;32)\) и \((10;77)\).