Вариант 2. 1. Четырёхугольник KMNP — параллелограмм. Выразите через векторы \(\vec m=\overrightarrow{MK}\) и \(\vec n=\overrightarrow{KP}\) векторы \(\overrightarrow{MA},\ \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{MP},\ \overrightarrow{KA}\), где A — точка на стороне PN, такая, что PA:AN = 2:5, B — середина отрезка MN.

В параллелограмме \(\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{KM}=-\vec m\), а \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{KP}=\vec n\).

Так как \(PA:AN=2:5\), точка A делит PN в отношении 2:5, поэтому \(\overrightarrow{PA}=\frac{2}{7}\overrightarrow{PN}=-\frac{2}{7}\vec m\).

Тогда:

\(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PA}=(\vec n-\vec m)-\frac{2}{7}\vec m=\vec n-\frac{9}{7}\vec m.\)

Поскольку B — середина MN, \(\overrightarrow{MB}=\frac12\vec n\). Следовательно, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\frac{9}{7}\vec m-\frac12\vec n.\)

Также \(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KP}=-\vec m+\vec n\), а \(\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{PA}=\vec n-\frac{2}{7}\vec m\).

Ответ: \(\overrightarrow{MA}=\vec n-\frac{9}{7}\vec m;\ \overrightarrow{AB}=\frac{9}{7}\vec m-\frac12\vec n;\ \overrightarrow{MP}=\vec n-\vec m;\ \overrightarrow{KA}=\vec n-\frac{2}{7}\vec m.\)