Вариант 1 (задания) 1. Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а угол между ними 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь. 2. В треугольнике АВС известно, что АВ = 3√2 см, ∠C= 45°, ∠A = 120°. Найдите сторону ВС треугольника. 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным явля- ется треугольник со сторонами 7 см, 10 см и 13 см. 4. Одна сторона треугольника на 8 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 28 см. 5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторо- нами 13 см, 20 см и 21 см. 6. Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а медиана, проведённая к третьей стороне, √14 см. Найдите неизвестную сторону треуголь- ника.

1. Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а угол между ними 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Пусть a = 6 см, b = 8 см, угол γ = 60°.

По теореме косинусов, третья сторона c:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(γ)$$ $$c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot cos(60°)$$ $$c^2 = 36 + 64 - 96 \cdot \frac{1}{2}$$ $$c^2 = 100 - 48 = 52$$ $$c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$

Площадь треугольника:

$$S = \frac{1}{2}ab \cdot sin(γ)$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot sin(60°)$$ $$S = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$S = 12\sqrt{3}$$

Ответ: третья сторона равна $$2\sqrt{13}$$ см, площадь равна $$12\sqrt{3}$$ кв. см.

2. В треугольнике АВС известно, что АВ = 3√2 см, ∠C= 45°, ∠A = 120°. Найдите сторону ВС треугольника.

По теореме синусов:

$$\frac{BC}{sin(A)} = \frac{AB}{sin(C)}$$ $$\frac{BC}{sin(120°)} = \frac{3\sqrt{2}}{sin(45°)}$$ $$BC = \frac{3\sqrt{2} \cdot sin(120°)}{sin(45°)}$$ $$BC = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ $$BC = 3\sqrt{3}$$

Ответ: сторона BC равна $$3\sqrt{3}$$ см.

3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 7 см, 10 см и 13 см.

Пусть a = 7, b = 10, c = 13.

Проверим теорему косинусов для угла, лежащего против наибольшей стороны (стороны c):

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(γ)$$ $$13^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot cos(γ)$$ $$169 = 49 + 100 - 140 \cdot cos(γ)$$ $$169 = 149 - 140 \cdot cos(γ)$$ $$20 = -140 \cdot cos(γ)$$ $$cos(γ) = -\frac{20}{140} = -\frac{1}{7}$$

Так как cos(γ) < 0, угол γ тупой. Следовательно, треугольник тупоугольный.

Ответ: треугольник тупоугольный.

4. Одна сторона треугольника на 8 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 28 см.

Пусть одна сторона a = x, тогда другая сторона b = x + 8, а третья сторона c = 28.

По теореме косинусов:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(γ)$$ $$28^2 = x^2 + (x+8)^2 - 2x(x+8) \cdot cos(120°)$$ $$784 = x^2 + x^2 + 16x + 64 - 2x(x+8) \cdot (-\frac{1}{2})$$ $$784 = 2x^2 + 16x + 64 + x^2 + 8x$$ $$3x^2 + 24x + 64 - 784 = 0$$ $$3x^2 + 24x - 720 = 0$$ $$x^2 + 8x - 240 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 64 + 960 = 1024$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{1024}}{2} = \frac{-8 + 32}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{1024}}{2} = \frac{-8 - 32}{2} = \frac{-40}{2} = -20$$

Так как сторона не может быть отрицательной, x = 12 см.

Тогда a = 12 см, b = 12 + 8 = 20 см.

Периметр треугольника: P = a + b + c = 12 + 20 + 28 = 60 см.

Ответ: периметр треугольника равен 60 см.

5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 13 см, 20 см и 21 см.

Пусть a = 13, b = 20, c = 21.

Найдем полупериметр: $$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27$$

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ $$S = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)}$$ $$S = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{3^2 \cdot 2^2 \cdot 7^2 \cdot 9} = 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 = 126$$

Найдем радиус описанной окружности:

$$R = \frac{abc}{4S} = \frac{13 \cdot 20 \cdot 21}{4 \cdot 126} = \frac{13 \cdot 5 \cdot 21}{126} = \frac{13 \cdot 5}{6} = \frac{65}{6} = 10\frac{5}{6}$$

Ответ: радиус окружности равен $$\frac{65}{6}$$ см или $$10\frac{5}{6}$$ см.

6. Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а медиана, проведённая к третьей стороне, – √14 см. Найдите неизвестную сторону треугольника.

Пусть a = 6, b = 8, m = \sqrt{14}. Пусть третья сторона равна c.

По формуле медианы:

$$4m^2 = 2a^2 + 2b^2 - c^2$$ $$4(\sqrt{14})^2 = 2(6^2) + 2(8^2) - c^2$$ $$4 \cdot 14 = 2 \cdot 36 + 2 \cdot 64 - c^2$$ $$56 = 72 + 128 - c^2$$ $$56 = 200 - c^2$$ $$c^2 = 200 - 56 = 144$$ $$c = \sqrt{144} = 12$$

Ответ: неизвестная сторона треугольника равна 12 см.