Решение задач

1. Сравнение чисел:

a) $$ \frac{7}{10} $$ и $$ \frac{31}{45} $$

Чтобы сравнить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 10 и 45 - это 90.

$$ \frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 9}{10 \cdot 9} = \frac{63}{90} $$ $$ \frac{31}{45} = \frac{31 \cdot 2}{45 \cdot 2} = \frac{62}{90} $$

Так как $$ \frac{63}{90} > \frac{62}{90} $$, то $$ \frac{7}{10} > \frac{31}{45} $$.

Ответ: $$ \frac{7}{10} > \frac{31}{45} $$

б) $$ \frac{7}{16} $$ и $$ \frac{7}{17} $$

У этих дробей одинаковые числители. Больше та дробь, у которой знаменатель меньше.

Так как 16 < 17, то $$ \frac{7}{16} > \frac{7}{17} $$.

Ответ: $$ \frac{7}{16} > \frac{7}{17} $$

в) $$ \frac{37}{36} $$ и 0,72

Преобразуем десятичную дробь 0,72 в обыкновенную:

$$ 0,72 = \frac{72}{100} = \frac{18}{25} $$

Теперь сравним $$ \frac{37}{36} $$ и $$ \frac{18}{25} $$. Приведем их к общему знаменателю, который равен 900.

$$ \frac{37}{36} = \frac{37 \cdot 25}{36 \cdot 25} = \frac{925}{900} $$ $$ \frac{18}{25} = \frac{18 \cdot 36}{25 \cdot 36} = \frac{648}{900} $$

Так как $$ \frac{925}{900} > \frac{648}{900} $$, то $$ \frac{37}{36} > 0,72 $$.

Ответ: $$ \frac{37}{36} > 0,72 $$

2. Вычисление значений выражений:

a) $$ \frac{11}{15} - \frac{4}{10} + \frac{1}{45} $$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 90.

$$ \frac{11}{15} = \frac{11 \cdot 6}{15 \cdot 6} = \frac{66}{90} $$ $$ \frac{4}{10} = \frac{4 \cdot 9}{10 \cdot 9} = \frac{36}{90} $$ $$ \frac{1}{45} = \frac{1 \cdot 2}{45 \cdot 2} = \frac{2}{90} $$

Теперь выполним вычисления:

$$ \frac{66}{90} - \frac{36}{90} + \frac{2}{90} = \frac{66 - 36 + 2}{90} = \frac{32}{90} = \frac{16}{45} $$

Ответ: $$ \frac{16}{45} $$

б) $$ 7 - 4 \frac{5}{9} $$

Представим 7 как смешанное число с дробной частью, знаменатель которой равен 9:

$$ 7 = 6 \frac{9}{9} $$

Теперь выполним вычитание:

$$ 6 \frac{9}{9} - 4 \frac{5}{9} = (6 - 4) + (\frac{9}{9} - \frac{5}{9}) = 2 + \frac{4}{9} = 2 \frac{4}{9} $$

Ответ: $$ 2 \frac{4}{9} $$

в) $$ 4 \frac{3}{10} + 1 \frac{5}{12} $$

Сначала сложим целые части:

$$ 4 + 1 = 5 $$

Теперь сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю, который равен 60:

$$ \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 6}{10 \cdot 6} = \frac{18}{60} $$ $$ \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60} $$

Сложим дробные части:

$$ \frac{18}{60} + \frac{25}{60} = \frac{18 + 25}{60} = \frac{43}{60} $$

Теперь сложим целую и дробную части:

$$ 5 + \frac{43}{60} = 5 \frac{43}{60} $$

Ответ: $$ 5 \frac{43}{60} $$

г) $$ 6 \frac{15}{21} + 2 \frac{9}{14} $$

Сначала сложим целые части:

$$ 6 + 2 = 8 $$

Теперь сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю, который равен 42:

$$ \frac{15}{21} = \frac{15 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{30}{42} $$ $$ \frac{9}{14} = \frac{9 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{27}{42} $$

Сложим дробные части:

$$ \frac{30}{42} + \frac{27}{42} = \frac{30 + 27}{42} = \frac{57}{42} = 1 \frac{15}{42} = 1 \frac{5}{14} $$

Теперь сложим целую и дробную части:

$$ 8 + 1 \frac{5}{14} = 9 \frac{5}{14} $$

Ответ: $$ 9 \frac{5}{14} $$

д) $$ 5 \frac{1}{6} - 3 \frac{3}{4} $$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$$ 5 \frac{1}{6} = \frac{5 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{31}{6} $$ $$ 3 \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4} $$

Теперь выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю, который равен 12:

$$ \frac{31}{6} = \frac{31 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{62}{12} $$ $$ \frac{15}{4} = \frac{15 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{45}{12} $$

Выполним вычитание:

$$ \frac{62}{12} - \frac{45}{12} = \frac{62 - 45}{12} = \frac{17}{12} = 1 \frac{5}{12} $$

Ответ: $$ 1 \frac{5}{12} $$

3. Задача про пшеницу:

С одного участка планировали собрать $$3 \frac{1}{12}$$ т пшеницы, а с другого $$4 \frac{11}{15}$$ т. Собрали на $$1 \frac{3}{5}$$ т больше.

Сколько всего пшеницы планировали собрать:

$$3 \frac{1}{12} + 4 \frac{11}{15} = 3 + \frac{1}{12} + 4 + \frac{11}{15} = 7 + \frac{1}{12} + \frac{11}{15}$$

Приведем дроби к общему знаменателю (60):

$$ \frac{1}{12} = \frac{5}{60} $$ $$ \frac{11}{15} = \frac{44}{60} $$

Тогда:

$$ 7 + \frac{5}{60} + \frac{44}{60} = 7 + \frac{49}{60} = 7 \frac{49}{60} $$

Собрали на $$1 \frac{3}{5}$$ т больше, значит, всего собрали:

$$7 \frac{49}{60} + 1 \frac{3}{5} = 7 \frac{49}{60} + 1 \frac{36}{60} = 8 + \frac{49}{60} + \frac{36}{60} = 8 + \frac{85}{60} = 8 + 1 \frac{25}{60} = 9 \frac{5}{12} $$

Ответ: Собрали $$9 \frac{5}{12}$$ тонн пшеницы.

4. Решение уравнений:

a) $$ y + 4 \frac{7}{10} = 5 \frac{8}{15} $$

Выразим y:

$$ y = 5 \frac{8}{15} - 4 \frac{7}{10} = 5 + \frac{8}{15} - 4 - \frac{7}{10} = 1 + \frac{8}{15} - \frac{7}{10}$$

Приведем дроби к общему знаменателю (30):

$$ \frac{8}{15} = \frac{16}{30} $$ $$ \frac{7}{10} = \frac{21}{30} $$

Тогда:

$$ y = 1 + \frac{16}{30} - \frac{21}{30} = 1 - \frac{5}{30} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$

Ответ: $$ y = \frac{5}{6} $$

б) $$ 2,65 \cdot (n - 3,06) = 4,24 $$

Разделим обе части на 2,65:

$$ n - 3,06 = \frac{4,24}{2,65} = 1,6 $$

Выразим n:

$$ n = 1,6 + 3,06 = 4,66 $$

Ответ: $$ n = 4,66 $$

5. Поиск дробей:

Необходимо найти 4 дроби, которые больше $$ \frac{4}{7} $$ и меньше $$ \frac{6}{7} $$.

Представим данные дроби в виде дробей с большим знаменателем, например, 28:

$$ \frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{16}{28} $$ $$ \frac{6}{7} = \frac{6 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{24}{28} $$

Теперь можно найти 4 дроби между $$ \frac{16}{28} $$ и $$ \frac{24}{28} $$. Например:

1. $$ \frac{17}{28} $$
2. $$ \frac{19}{28} $$
3. $$ \frac{21}{28} = \frac{3}{4} $$
4. $$ \frac{23}{28} $$

Ответ: Четыре дроби: $$ \frac{17}{28}, \frac{19}{28}, \frac{3}{4}, \frac{23}{28} $$