Вариант 1 1. Периметр параллелограмма равен 32 см. Найдите его стороны, если одна из них на 8 см меньше другой. 2. Периметр параллелограмма равен 168 см. Найдите его стороны, если они относятся как 2:19. 3. В прямоугольнике PROC точка М является точкой пересечения диагоналей. ∠OMC = 36°. Найдите ∠RMO и ∠RPO. 4. В прямоугольнике NDZM точка О является точкой пересечения диагоналей. ZNMD = 30°, DM = 50 см. Найдите углы и периметр треугольника NOD. 5. В ромбе ХТВН проведена высота ТР из вершины тупого угла Т. Периметр ромба равен 120, а ТР = 15. Найдите ДХТВ. 6. Разность двух углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 84°. Найдите эти углы. 7. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 356°. Найдите меньший угол трапеции. Ответ дайте в градусах. 8. Один из углов прямоугольной трапеции равен 101°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. Пусть одна сторона параллелограмма равна $$x$$ см, тогда другая равна $$(x + 8)$$ см. Периметр параллелограмма равен $$2(x + x + 8)$$ см, что по условию равно 32 см. Составим и решим уравнение: $$2(x + x + 8) = 32$$ $$2x + 8 = 16$$ $$2x = 8$$ $$x = 4$$ Значит, одна сторона равна 4 см, а другая $$4 + 8 = 12$$ см. Ответ: 4 см, 12 см. 2. Пусть одна сторона параллелограмма равна $$2x$$ см, тогда другая равна $$19x$$ см. Периметр параллелограмма равен $$2(2x + 19x)$$ см, что по условию равно 168 см. Составим и решим уравнение: $$2(2x + 19x) = 168$$ $$21x = 84$$ $$x = 4$$ Значит, одна сторона равна $$2\cdot4 = 8$$ см, а другая $$19\cdot4 = 76$$ см. Ответ: 8 см, 76 см. 3. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, треугольник $$MOC$$ - равнобедренный, углы при основании равны. Следовательно, $$\angle MCO = \angle CMO = 36^{\circ}$$. $$\angle ROC = 90^{\circ}$$, тогда $$\angle RMO = \angle ROC - \angle CMO = 90^{\circ} - 36^{\circ} = 54^{\circ}$$. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то треугольник $$MRO$$ - равнобедренный, следовательно, $$\angle RMO = \angle RPO = 54^{\circ}$$. Ответ: $$angle RMO = 54^{\circ}$$, $$angle RPO = 54^{\circ}$$. 4. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, треугольник $$MOD$$ - равнобедренный, углы при основании равны. Следовательно, $$\angle MDO = \angle NMD = 30^{\circ}$$. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то $$\angle MOD = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ}$$. $$MO = OD = \frac{1}{2}MD = \frac{1}{2} \cdot 50 = 25$$ см. Периметр треугольника NOD равен $$NO + OD + ND$$. $$ND = \sqrt{MD^2 - MN^2}$$. Так как $$\angle NMD = 30^{\circ}$$, то $$MN = \frac{1}{2}MD = \frac{1}{2} \cdot 50 = 25$$ см. $$ND = \sqrt{50^2 - 25^2} = \sqrt{25^2 \cdot (2^2 - 1)} = 25\sqrt{3}$$ см. $$NO = MD = 50$$ см. Периметр треугольника NOD равен $$50 + 25 + 25\sqrt{3} = 75 + 25\sqrt{3}$$ см. Ответ: $$\angle MDO = 30^{\circ}$$, $$angle MOD = 120^{\circ}$$, $$angle NOD = 30^{\circ}$$, $$P_{NOD} = 75 + 25\sqrt{3}$$ см. 5. Периметр ромба равен 120, значит, сторона ромба равна $$120 : 4 = 30$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$HTP$$. В нем гипотенуза $$HT = 30$$, катет $$TP = 15$$, который лежит против угла в 30°. Значит, $$\angle THB = 30^{\circ}$$. Так как в ромбе противоположные углы равны, то $$\angle XTH = \angle XBH$$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180°. Следовательно, $$\angle XTH = \angle XBH = (360 - 30 \cdot 2) : 2 = 150 : 2 = 75^{\circ}$$. Рассмотрим треугольник $$XTB$$. Он равнобедренный, так как $$XT = TB$$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. $$\angle TXB = \angle TBX = (180 - 75) : 2 = 105:2 = 52,5^{\circ}$$. Следовательно, $$\angle XTB = 52,5^{\circ}$$. Ответ: $$\angle XTB = 52,5^{\circ}$$. 6. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°. Пусть один угол равен $$x$$, тогда другой равен $$(x + 84^{\circ})$$. Составим и решим уравнение: $$x + x + 84 = 180$$ $$2x = 96$$ $$x = 48$$ Значит, один угол равен 48°, а другой $$48 + 84 = 132^{\circ}$$. Ответ: 48°, 132°. 7. Сумма двух углов, прилежащих к одному основанию, в равнобедренной трапеции равна 360°. Пусть один угол равен $$x$$, тогда другой угол тоже равен $$x$$. $$x + x = 356$$ $$2x = 356$$ $$x = 178$$ Так как сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°, то $$angle = 180 - 178 = 2^{\circ}$$. Ответ: 2. 8. В прямоугольной трапеции два угла по 90°. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Пусть один угол равен $$x$$, тогда $$x = 360 - 90 - 90 - 101 = 79^{\circ}$$. Ответ: 79.