Контрольные задания > Вариант 2. 1. На рисунке 162 луч BD является биссектрисой угла АВС, а луч DB является биссектрисой угла ADC. Докажите, что треугольники ABD и CBD равны. 2. Дан отрезок. Постройте две какие-либо взаимно перпендикулярные прямые и на одной из них от точки пересечения отложите отрезок, равный данному. 3. Внутри треугольника АВС взята точка О, причем ∠BOC = ∠BOA, AO = OC. а) Докажите, что углы ВАС И ВСА равны. б) Докажите, что прямая ВО проходит через середину отрезка АС. 4*. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 11°15′ ?
Вопрос:

Вариант 2. 1. На рисунке 162 луч BD является биссектрисой угла АВС, а луч DB является биссектрисой угла ADC. Докажите, что треугольники ABD и CBD равны. 2. Дан отрезок. Постройте две какие-либо взаимно перпендикулярные прямые и на одной из них от точки пересечения отложите отрезок, равный данному. 3. Внутри треугольника АВС взята точка О, причем ∠BOC = ∠BOA, AO = OC. а) Докажите, что углы ВАС И ВСА равны. б) Докажите, что прямая ВО проходит через середину отрезка АС. 4*. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 11°15′ ?

Ответ:

Решение задач

Задача 1:

Дано: Луч BD - биссектриса угла ABC, луч DB - биссектриса угла ADC.

Доказать: Треугольники ABD и CBD равны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABD и CBD:

  1. BD - общая сторона.
  2. ∠ABD = ∠CBD (так как BD - биссектриса угла ABC).
  3. ∠ADB = ∠CDB (так как DB - биссектриса угла ADC).

Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Задача 2:

Построение взаимно перпендикулярных прямых:

  1. Проводим произвольную прямую l.
  2. Отмечаем на ней точку O.
  3. Строим окружность с центром в точке O.
  4. Отмечаем точки пересечения окружности с прямой l (точки A и B).
  5. Строим две окружности одинакового радиуса (большего, чем половина AB) с центрами в точках A и B.
  6. Отмечаем точки пересечения этих окружностей (точки C и D).
  7. Проводим прямую CD.

Прямая CD перпендикулярна прямой l и проходит через точку O.

Откладывание отрезка:

  1. На одной из построенных прямых (например, на прямой l) откладываем от точки O отрезок, равный данному. Для этого используем циркуль: измеряем расстояние между концами данного отрезка и откладываем это расстояние от точки O вдоль прямой l.

Задача 3:

Дано: Внутри треугольника ABC точка O, ∠BOC = ∠BOA, AO = OC.

а) Доказать: Углы BAC и BCA равны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники AOB и COB:

  1. AO = OC (по условию).
  2. BO - общая сторона.
  3. ∠BOA = ∠BOC (по условию).

Следовательно, треугольники AOB и COB равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что AB = BC. Значит, треугольник ABC - равнобедренный с основанием AC.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠BAC = ∠BCA.

б) Доказать: Прямая BO проходит через середину отрезка AC.

Доказательство:

Так как треугольники AOB и COB равны (доказано выше), то ∠ABO = ∠CBO. Это означает, что BO - биссектриса угла ABC.

В равнобедренном треугольнике ABC биссектриса, проведенная к основанию, также является медианой. Следовательно, BO - медиана и проходит через середину AC.

Задача 4*:

Построение угла в 11°15′:

Угол в 11°15' можно построить с помощью циркуля и линейки, используя следующие шаги:

  1. Построить угол в 54° (дан в условии).
  2. Разделить угол в 54° на три равные части (построить угол в 18°). Это можно сделать с помощью циркуля и линейки.
  3. Разделить угол в 18° пополам (построить угол в 9°).
  4. Разделить угол в 9° пополам (построить угол в 4,5° = 4°30').
  5. Сложить угол в 9° и угол в 4°30', чтобы получить угол 13°30'.
  6. Разделить угол в 13°30' пополам (построить угол в 6°45').
  7. Вычесть угол в 6°45' из угла в 18°, чтобы получить угол 11°15'.
Смотреть решения всех заданий с листа

Похожие